Оглавление [Скрыть]
- 1 Конечно порожденный модуль
- 1.1 Определение конечно порожденного модуля
- 1.2 Свойства конечно порожденных модулей
- 1.3 Примеры конечно порожденных модулей
- 1.4 Факты о конечно порожденных модулях
- 1.5 Конечно порожденные модули над коммутативным кольцом
- 1.6 Общий ранг конечно порожденных модулей
- 1.7 Эквивалентные определения и конечно-согласованные модули
- 1.8 Конечнопорожденность и конечносгенерированность
- 1.9 Конечнокогенерированность
- 1.10 Связь с нетеровыми и артиновскими модулями
- 1.11 Конечно-когенерируемые модули
- 1.12 Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули
- 1.13 Эквивалентность условий
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Конечно сгенерированный модуль
Конечно порожденный модуль
-
Определение конечно порожденного модуля
- Модуль M конечно порожден, если существует конечное порождающее множество {a1, a2, …, an} таких, что для любого x в M существует r1, r2, …, rn в R с x = r1a1 + r2a2 + … + нан.
- Множество {a1, a2, …, an} называется генерирующим множеством.
- Конечное порождающее множество не обязательно должно быть базисом.
-
Свойства конечно порожденных модулей
- Модуль M конечно порожден тогда и только тогда, когда существует сюръективное R-линейное отображение.
- Модуль M генерируется конечным образом тогда и только тогда, когда любая возрастающая цепочка подмодулей стабилизируется.
- Каждый ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальные подмодули.
-
Примеры конечно порожденных модулей
- Циклический модуль генерируется одним элементом.
- Дробные идеалы в целочисленной области являются конечно порожденными модулями.
- Конечно порожденные модули над кольцом целых чисел совпадают с конечно порожденными абелевыми группами.
-
Факты о конечно порожденных модулях
- Каждое гомоморфное изображение конечно порожденного модуля конечно порождено.
- Подмодули конечно порожденных модулей не обязательно должны быть конечно порожденными.
- Модуль над нетеровым кольцом конечно порожден тогда и только тогда, когда он является нетеровым модулем.
-
Конечно порожденные модули над коммутативным кольцом
- Лемма Накаямы позволяет доказать явления конечномерных векторных пространств для конечно порожденных модулей.
- Артинов модуль является когопфиевым.
- Любой R-модуль является индуктивным пределом конечно порожденных R-подмодулей.
-
Общий ранг конечно порожденных модулей
- Общий ранг M над A равен числу максимальных A-линейно независимых векторов в M.
- Общий ранг совпадает с рангом максимального свободного подмодуля из M.
- В нетеровой интегральной области общий ранг равен рангу проективной части модуля.
-
Эквивалентные определения и конечно-согласованные модули
- Для любого семейства подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если ∑i∈I Ni = M, то ∑i∈F Ni = M для некоторого конечного подмножества F из I.
-
Конечнопорожденность и конечносгенерированность
- Для любой цепочки подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если ⋃i∈I Ni = M, то Ni = M для некоторого i в I.
- Если ϕ: ⨁i∈I R → M является эпиморфизмом, то ограничение ϕ: ⨁i∈F R → M является эпиморфизмом для конечного подмножества F из I.
- Конечнопорожденность сохраняется эквивалентностью Мориты.
-
Конечнокогенерированность
- Для любого семейства подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если ⋂i∈I Ni = {0}, то ⋂i∈F Ni = {0} для конечного подмножества F из I.
- Для любой цепочки подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если ⋂i∈I Ni = {0}, то Ni = {0} для некоторого i в I.
- Если ϕ: M → ∏i∈I Ni является мономорфизмом, где каждый Ni является модулем R, то ϕ: M → ∏i∈F Ni является мономорфизмом для конечного подмножества F из I.
-
Связь с нетеровыми и артиновскими модулями
- M является нетеровым тогда и только тогда, когда каждый подмодуль N из M равен f.g.
- M является артиновым тогда и только тогда, когда каждый факторный модуль M / N равен f.cog.
- M – это f.g. тогда и только тогда, когда J (M) является избыточным подмодулем M, а M/J (M) – это, например.
- M – это f.cog. тогда и только тогда, когда soc (M) является существенным подмодулем M, а soc (M) – это, например.
-
Конечно-когенерируемые модули
- Конечно-когенерируемые модули должны иметь конечные однородные размеры.
- Конечно сгенерированные модули не обязательно имеют конечную однородную размерность.
-
Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули
- Конечно порожденный модуль M – это модуль, для которого существует эпиморфизм, отображающий Rk на M.
- Если ядро φ конечно порождено, то M называется конечно связанным модулем.
- Если ядро φ конечно порождено и F имеет конечный ранг, то M называется конечно заданным модулем.
- Когерентный модуль M – это конечно порожденный модуль, конечно порожденные подмодули которого конечно представлены.
-
Эквивалентность условий
- Для нетерова кольца R конечно порожденные, конечно представленные и когерентные являются эквивалентными условиями на модуле.
- Конечно порожденный проективный модуль конечно представлен, а конечно связанный плоский модуль является проективным.
- Верно, что следующие условия эквивалентны для кольца R: R – это правое когерентное кольцо. Модуль RR – это согласованный модуль. Каждый конечно представленный правый R-модуль является когерентным.