Конструктивный анализ
-
Определение вещественных чисел
- Вещественные числа — это упорядоченное поле с операциями сложения и умножения.
- Они включают рациональные числа и иррациональные числа, которые не могут быть точно представлены в виде дроби.
-
Аксиомы вещественных чисел
- Аксиомы включают упорядоченность, непрерывность, существование нуля и бесконечности, а также аксиомы полноты и обратимости.
- Аксиома полноты требует, чтобы каждое непустое подмножество имело верхнюю границу.
- Аксиома обратимости утверждает, что каждое число, отличное от нуля, имеет обратный элемент.
-
Примеры вещественных чисел
- Примеры включают рациональные числа, иррациональные числа и числа, которые не могут быть точно представлены в виде дроби.
- Иррациональные числа включают квадратные корни из отрицательных чисел и числа, которые не могут быть выражены в виде отношения двух целых чисел.
-
Формализация вещественных чисел
- Вещественные числа могут быть определены как упорядоченные последовательности рациональных чисел.
- Последовательности могут быть определены как бесконечные списки элементов, упорядоченных по возрастанию.
- Отношения между числами могут быть определены через операции над элементами последовательностей.
-
Вариации и расширения
- Существуют различные подходы к определению вещественных чисел, включая использование модулей и теории полей Хейтинга.
- В теории полей Хейтинга используются обратимые элементы, что позволяет определить строгое упорядочение.
- Различные аксиомы полноты могут быть использованы для получения различных свойств вещественных чисел.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.