Оглавление
- 1 Корень единства
- 1.1 Определение корней из единицы
- 1.2 Свойства корней из единицы
- 1.3 Примитивные корни из единицы
- 1.4 Группа Галуа примитивных корней из единицы
- 1.5 Тригонометрическое выражение корней из единицы
- 1.6 Алгебраическое выражение корней из единицы
- 1.7 Примитивные корни из единицы
- 1.8 Теория Галуа и круговые многочлены
- 1.9 Явные выражения в низких степенях
- 1.10 Периодичность и суммирование
- 1.11 Ортогональность и дискретное преобразование Фурье
- 1.12 Циклотомические многочлены
- 1.13 Циклотомические многочлены
- 1.14 Ограничения на значения циклотомических полиномов
- 1.15 Циклические группы и корни из единицы
- 1.16 Циклотомические поля
- 1.17 Отношение к квадратичным целым числам
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Корень единства – Arc.Ask3.Ru
Корень единства
-
Определение корней из единицы
- Корни из единицы — это комплексные числа, которые при возведении в степень n дают 1.
- Корни из единицы используются в теории чисел, теории групповых символов и дискретном преобразовании Фурье.
-
Свойства корней из единицы
- Корни из единицы могут быть определены в любой области.
- В полях с нулевой характеристикой корни — это комплексные числа.
- В полях с положительной характеристикой корни принадлежат конечному полю.
- Любое алгебраически замкнутое поле содержит ровно n корней из единицы.
-
Примитивные корни из единицы
- Примитивный корень из единицы — это корень, который не является m-м корнем для некоторого меньшего m.
- Если n — простое число, все n-е корни, кроме 1, являются примитивными.
- Примитивные корни из единицы образуют абелеву группу при умножении.
-
Группа Галуа примитивных корней из единицы
- Поле Q(ω) содержит все n-е корни из единицы и является продолжением Галуа из Q.
- Карта индуцирует автоморфизм Q(ω), который сопоставляет каждый n-й корень с его k-й степенью.
- Группа Галуа примитивных корней из единицы является абелевой.
-
Тригонометрическое выражение корней из единицы
- Формула де Муавра показывает, что n-е корни из единицы находятся в вершинах правильного n-стороннего многоугольника.
- Формула Эйлера может быть использована для приведения формулы для n-го корня из единицы в вид, где k и n взаимно просты.
-
Алгебраическое выражение корней из единицы
- N-е корни из единицы являются корнями многочлена xn – 1 и, таким образом, являются алгебраическими числами.
-
Примитивные корни из единицы
- Примитивные n-е корни из единицы являются корнями неприводимого многочлена Φn.
- Степень Φn задается функцией Эйлера totient.
- Корни Φn соответствуют примитивным n-м корням из единицы.
-
Теория Галуа и круговые многочлены
- Круговые многочлены могут быть решены в терминах радикалов.
- Гаусс доказал, что примитивный n-й корень из единицы может быть выражен через квадратные корни, сложение, вычитание, умножение и деление.
- Φn является обратным многочленом, корни которого вещественны.
-
Явные выражения в низких степенях
- Для n = 1, Φ1(x) = x − 1, единственный примитивный корень — 1.
- Для n = 2, Φ2(x) = x + 1, единственный примитивный корень — -1.
- Для n = 3, Φ3(x) = x2 + x + 1, корни — ±1 + i√3/2, ±1 − i√3/2.
- Для n = 4, Φ4(x) = x2 + 1, корни — i и −i.
- Для n = 5, Φ5(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, корни — ε5 − 1/4 ± i√10 + 2ε5/4.
- Для n = 6, Φ6(x) = x2 − x + 1, корни — 1 + i√3/2, 1 − i√3/2.
- Для n = 7, Φ7(x) = x3 + x2 − 2x − 1, корни — r2 ± i√1 − r2/4.
- Для n = 8, Φ8(x) = x4 + 1, корни — ±2/2 ± i√2/2.
-
Периодичность и суммирование
- Последовательность степеней примитивного n-го корня из единицы является n-периодической.
- Сумма всех n-х корней из единицы равна 0 или 1 в зависимости от n.
- Сумма примитивных n-х корней из единицы равна μ(n), где μ — функция Мебиуса.
-
Ортогональность и дискретное преобразование Фурье
- Из формулы суммирования следует ортогональность примитивных n-х корней из единицы.
- Дискретное преобразование Фурье может быть вычислено с помощью матрицы U.
- U является унитарной матрицей, обратное преобразование требует O(n2) операций.
-
Циклотомические многочлены
- Нули многочлена Φn(z) являются примитивными n-ми корнями из единицы.
- Φn(z) имеет целые коэффициенты и является неприводимым многочленом.
- Для простого числа p, Φp(z) = zp − 1/z − 1.
- Коэффициенты Φn зависят от количества нечетных простых множителей в n.
-
Циклотомические многочлены
- Первое возможное число n, для которого существует коэффициент, отличный от 0, 1 или -1, равно 105.
- Теорема Шура утверждает, что существуют циклотомические многочлены с коэффициентами сколь угодно большими по абсолютной величине.
- Если n = p1p2⋯pt, где p1 < p2 < ⋯ < pt, и p1 + p2 > pt, то 1 − t встречается как коэффициент в n-м циклотомическом многочлене.
-
Ограничения на значения циклотомических полиномов
- Если p простое число, то d ∈ Φp(d) тогда и только тогда, когда d ∈ 1 (mod p).
- Круговые многочлены разрешимы в радикалах, так как корни из единицы сами по себе являются радикалами.
- Существуют более информативные радикальные выражения для n-х корней из единицы, каждое значение которых является примитивным n-м корнем из единицы.
-
Циклические группы и корни из единицы
- n-е корни из единицы образуют циклическую группу порядка n.
- Генератором для этой группы является примитивный n-й корень из единицы.
- Корни из единицы образуют неприводимое представление любой циклической группы порядка n.
-
Циклотомические поля
- Присоединяя примитивный n-й корень из единицы к Q, получается энное круговое поле Q(exp(2πi/n)).
- Это поле содержит все n-е корни из единицы и является полем расщепления n-го кругового многочлена над Q.
- Расширение поля деятельности Q(exp(2πi/n))/Q имеет степень φ(n), и его группа Галуа изоморфна мультипликативной группе единиц кольца Z/nZ.
-
Отношение к квадратичным целым числам
- При n = 1, 2 оба корня из единицы 1 и -1 являются целыми числами.
- Для n = 3, 6 корни из единицы являются целыми числами Эйзенштейна (D = -3).
- Для n = 4 корни из единицы являются целыми числами по Гауссу (D = -1).
- Для n = 5, 10 сумма любого корня из единицы с его комплексно сопряженным является целым квадратичным числом.
- При n = 8 сумма любого корня из единицы с его комплексно сопряженным равна либо 0, ±2, либо ±√2.
- При n = 12 сумма любого корня из единицы с его комплексно сопряженным равна либо 0, ±1, ±2, либо ±√3.