Оглавление
- 1 Функция кумулятивного распределения
- 1.1 Определение кумулятивной функции распределения
- 1.2 Свойства кумулятивной функции распределения
- 1.3 Примеры кумулятивных функций распределения
- 1.4 Производные функции
- 1.5 Функция выживания и функция надежности
- 1.6 Неравенство Маркова
- 1.7 Свернутое кумулятивное распределение
- 1.8 Обратная функция распределения
- 1.9 Эмпирическая функция распределения
- 1.10 Многомерный случай
- 1.11 Сложный случай
- 1.12 Использование кумулятивной функции распределения
- 1.13 Тесты Колмогорова–Смирнова и Койпера
- 1.14 Связанные темы
- 1.15 Рекомендации
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Кумулятивная функция распределения
Функция кумулятивного распределения
-
Определение кумулятивной функции распределения
- Кумулятивная функция распределения (CDF) вещественнозначной случайной величины X — это вероятность того, что X примет значение, меньшее или равное x.
- CDF однозначно идентифицирует распределение вероятностей, поддерживаемое действительными числами.
- CDF удовлетворяет условиям непрерывности справа и монотонности.
-
Свойства кумулятивной функции распределения
- CDF является неубывающей и непрерывной справа функцией.
- lim x→−∞ F(x) = 0, lim x→∞ F(x) = 1.
- CDF дискретной случайной величины достигает значений x1, x2, … с вероятностью p(x1), p(x2), …
- Если CDF непрерывна, X является непрерывной случайной величиной.
-
Примеры кумулятивных функций распределения
- Равномерное распределение: F(x) = {0: x<0, x: 0≤x≤1, 1: x>1}.
- Дискретное распределение: F(x) = {0: x<0, 1/2: 0≤x<1, 1: x≥1}.
- Экспоненциальное распределение: F(x; λ) = {1-e−λx: x≥0, 0: x<0}.
- Нормальное распределение: F(t; μ, σ) = 1/σ2π∫−∞texp(−(x−μ)2/2σ2)dx.
- Биномиальное распределение: F(k; n, p) = ∑i=0⌊k⌋(ni)p^i(1−p)^{n−i}.
-
Производные функции
- Дополнительная функция кумулятивного распределения (ccdf) определяется как P(X>x) = 1-F(x).
- ccdf используется для проверки статистических гипотез и определения одностороннего значения p.
-
Функция выживания и функция надежности
- Функция выживания (S(x)) используется в анализе выживаемости и обозначается как S(x).
- Функция надежности широко распространена в инженерном деле.
-
Неравенство Маркова
- Для неотрицательной непрерывной случайной величины с конечным математическим ожиданием, S(x) ≤ E(X)/x.
- При x → ∞, S(x) → 0 и S(x) = o(1/x).
-
Свернутое кумулятивное распределение
- Альтернативой S-образному графику кумулятивного распределения является свернутое кумулятивное распределение.
- Свернутое кумулятивное распределение подчеркивает медиану, дисперсию и асимметрию распределения.
-
Обратная функция распределения
- Обратная функция распределения (F^-1(p)) определяет уникальное действительное число x, такое что F(x) = p.
- Некоторые дистрибутивы не имеют уникального обратного значения, в этом случае используется обобщенная обратная функция распределения.
-
Эмпирическая функция распределения
- Эмпирическая функция распределения сходится к кумулятивной функции распределения с вероятностью 1.
- Существуют результаты, позволяющие количественно оценить скорость сходимости эмпирической функции распределения.
-
Многомерный случай
- Для двух случайных величин определяется совместная кумулятивная функция распределения.
- Для N случайных величин определяется объединенный CDF.
- Многомерный CDF удовлетворяет монотонности, прямолинейности и другим свойствам.
-
Сложный случай
- Обобщение кумулятивной функции распределения на комплексные случайные величины требует совместного распределения действительной и мнимой частей.
- Для сложного случайного вектора используется аналогичное определение.
-
Использование кумулятивной функции распределения
- Кумулятивный частотный анализ: анализ частоты появления значений явления, меньших контрольного значения
- Эмпирическая функция распределения: формальная прямая оценка кумулятивной функции распределения
-
Тесты Колмогорова–Смирнова и Койпера
- Тест Колмогорова–Смирнова: проверка различий между двумя эмпирическими распределениями или эмпирическим распределением и идеальным
- Тест Койпера: полезен для циклических областей распределения, например, по дням недели
- Примеры использования: проверка изменения количества торнадо в течение года или продаж продукта в зависимости от дня недели или числа месяца
-
Связанные темы
- Описательная статистика
- Распределительный фитинг
- Оживить (статистика)
-
Рекомендации
- Внешние ссылки
- Средства массовой информации, связанные с функциями совокупного распространения на Викискладе