Оглавление
- 1 Квадратичная взаимность
- 1.1 Закон квадратичной взаимности
- 1.2 История и формулировки
- 1.3 Примеры и обобщения
- 1.4 Закономерности между квадратичными остатками
- 1.5 Дополнения к квадратичной взаимности
- 1.6 Формулировки теоремы
- 1.7 Доказательство эквивалентности утверждений Лежандра и Гаусса
- 1.8 Значение символа Лежандра
- 1.9 История и альтернативные утверждения
- 1.10 Лежандр и его символ
- 1.11 Дополнительные законы, использующие символы Лежандра
- 1.12 Гаусс и его вклад
- 1.13 Символ Якоби
- 1.14 Формула Эйлера
- 1.15 Символ Гильберта
- 1.16 Символ Гильберта и закон взаимности
- 1.17 Связь с квадратичной взаимностью
- 1.18 Другие кольца и законы
- 1.19 Воображаемые квадратичные поля
- 1.20 Многочлены над конечным полем
- 1.21 Высшие силы и обобщения
- 1.22 Полный текст статьи:
- 2 Квадратичная взаимность
Квадратичная взаимность
-
Закон квадратичной взаимности
- Теорема о модульной арифметике, дающая условия разрешимости квадратных уравнений по модулю простых чисел
- Определяет символы Лежандра, позволяющие вычислить квадратичные остатки
- Неконструктивный результат, не помогает найти конкретное решение
-
История и формулировки
- Выдвинута Эйлером и Лежандром, доказана Гауссом
- Гаусс назвал её “фундаментальной теоремой”
- Опубликовано более 240 доказательств
-
Примеры и обобщения
- Квадратичная взаимность возникает из тонких схем разложения на множители
- Обобщение на высшие силы важно для современной алгебры и теории чисел
-
Закономерности между квадратичными остатками
- Квадратичные остатки соответствуют квадратам по модулю простого числа
- Произведение двух квадратичных остатков является остатком, произведение остатка и не-остатка — не-остатком
-
Дополнения к квадратичной взаимности
- Решения для конкретных случаев, часто приводятся как частичные результаты
- q = ±1: 1 — квадратичный вычет для всех простых чисел, -1 — для некоторых
- q = ±2: 2 — квадратичный вычет для некоторых, -2 — для других
- q = ±3: 3 — квадратичный вычет для некоторых, -3 — для других
- q = ±5: 5 — квадратичный вычет для некоторых, -5 — для других
-
Формулировки теоремы
- Квадратичная взаимность (утверждение Гаусса): x2 ≡ p mod q разрешимо тогда и только тогда, когда x2 ≡ q mod p разрешимо
- Квадратичная взаимность (комбинированное утверждение): x2 ≡ p mod q разрешимо тогда и только тогда, когда x2 ≡ q∗ mod p разрешимо
- Квадратичная взаимность (утверждение Лежандра): x2 ≡ q mod p разрешимо тогда и только тогда, когда x2 ≡ p mod q разрешимо
-
Доказательство эквивалентности утверждений Лежандра и Гаусса
- Доказательство основано на первом дополнении и фактах о умножении остатков и нерезидентов.
- Доказательство опубликовано Б. Векличем в американском математическом ежемесячнике.
-
Значение символа Лежандра
- Значение символа Лежандра в -1 следует из критерия Эйлера.
- Значение символа Лежандра в 2 можно вывести из количества решений уравнения x^2 + y^2 = 2.
-
История и альтернативные утверждения
- Теорема была сформулирована до современной формы.
- Ферма доказал ряд теорем о выражении простого числа квадратичной формой.
- Эйлер сформулировал закон квадратичной взаимности, но не смог его доказать.
-
Лежандр и его символ
- Лежандр ввел символ Лежандра для упрощения выражений.
- Лежандр доказал, что символ Лежандра эквивалентен квадратичной взаимности.
-
Дополнительные законы, использующие символы Лежандра
- Из двух дополнений можно получить третий закон взаимности для -2.
- Лежандр не смог доказать взаимность, но позже показал, что требуется существование простого числа p.
-
Гаусс и его вклад
- Гаусс доказал дополнительные законы и установил основу для индукции.
- Гаусс сформулировал общую теорему в виде правил для символа Якоби.
- Гаусс доказал лемму, аналогичную той, что была нужна Лежандру.
-
Символ Якоби
- Символ Якоби является обобщением символа Лежандра.
- Символ Якоби подчиняется тем же правилам манипулирования, что и символ Лежандра.
-
Формула Эйлера
- Формула Эйлера может быть записана в терминах символов Лежандра и Якоби.
- Формула Эйзенштейна требует условий относительной простоты.
-
Символ Гильберта
- Закон квадратичной взаимности может быть сформулирован в терминах символа Гильберта.
-
Символ Гильберта и закон взаимности
- Символ Гильберта (a, b)v равен 1 или -1 в зависимости от решения уравнения ax2 + by2 = z2 в рациональных числах.
- Закон взаимности Гильберта утверждает, что (a, b)v равно 1 для всех, кроме конечного числа v, и произведение (a, b)v по всем v равно 1.
-
Связь с квадратичной взаимностью
- Закон взаимности Гильберта обобщает квадратичную взаимность на все глобальные поля.
- Квадратичная взаимность требует знаковых условий и особого отношения к простому числу 2.
-
Другие кольца и законы
- Существуют квадратичные законы взаимности в кольцах, отличных от целых чисел.
- Гаусс доказал квадратичную взаимность для кольца Z[i], но не привел доказательств.
- Дирихле показал, что закон в Z[i] может быть выведен из закона для Z без использования четвертичной взаимности.
- Эйзенштейн доказал квадратичную взаимность для кольца Z[ω].
-
Воображаемые квадратичные поля
- Законы для Z[i] и Z[ω] являются частными случаями более общих законов для воображаемых квадратичных полей.
- Херглотц доказал, что для воображаемых квадратичных полей существуют квадратичные символы.
-
Многочлены над конечным полем
- Дедекинд доказал, что для многочленов над конечным полем существуют квадратичные характеры.
-
Высшие силы и обобщения
- Попытка обобщить квадратичную взаимность привела к изучению общих полей алгебраических чисел.
- Артин открыл принцип взаимности Артина, который является общей теоремой, включающей все известные законы взаимности.