Четвертичная взаимность
-
Основы биквадратичной теории чисел
- Биквадратичная теория чисел – это раздел теории чисел, изучающий свойства чисел в поле комплексных чисел с квадратным корнем из -1.
- Гаусс разработал биквадратичную теорию чисел, основываясь на своих исследованиях по теории чисел и теории функций.
-
Основные понятия и определения
- Гаусс ввел понятие биквадратичного числа, которое является комплексным числом с квадратным корнем из -1.
- Биквадратичные числа образуют поле комплексных чисел с квадратным корнем из -1, которое обозначается Z[i].
- Гаусс определил биквадратичные целые числа как числа, которые могут быть выражены как a + bi, где a и b – целые числа.
-
Свойства биквадратичных чисел
- Биквадратичные целые числа обладают свойствами, аналогичными обычным целым числам, такими как сложение, вычитание, умножение и деление.
- Гаусс доказал, что Z[i] является уникальной областью разложения на множители.
- Простые числа в Z[i] делятся на три класса: 2, нечетные простые числа в Z[i] и сопряженные простые числа.
-
Факторизация и конгруэнтность
- Гаусс сформулировал единственную теорему факторизации для Z[i], которая позволяет разложить число на множители.
- Конгруэнтность и наибольший общий делитель в Z[i] определены аналогично обычным целым числам.
-
Квадратичная взаимность и биквадратичный символ
- Гаусс сформулировал закон биквадратичной взаимности, который аналогичен закону квадратичной взаимности для обычных целых чисел.
- Биквадратичный символ – это формальное свойство, аналогичное символу Лежандра, которое позволяет выразить биквадратичные числа через их квадратичные корни.
-
Дополнительные теоремы и закон биквадратичной взаимности
- Существуют дополнительные теоремы и законы биквадратичной взаимности, которые обобщают и уточняют закон биквадратичной взаимности.
- Закон биквадратичной взаимности может быть сформулирован без использования понятия первичного числа.
-
Литература и ссылки
- В статье приведены ссылки на оригинальные статьи Эйлера, Дирихле и Эйзенштейна, а также на работы Гаусса и Эйзенштейна.
- Ссылки на статьи Леммермейера и Кокса использованы для подтверждения некоторых утверждений.
Полный текст статьи: