Оглавление [Скрыть]
L-функция Дирихле
-
Определение и свойства L-функций Дирихле
- L-функции Дирихле — это функции формы L(s, χ), где χ — символ Дирихле, а s — комплексная переменная с действительной частью больше 1.
- L-функции могут быть расширены до мероморфных функций на всей комплексной плоскости.
- L-функции названы в честь Питера Густава Лежена Дирихле, который ввел их в 1837 году.
-
Произведение Эйлера и примитивные символы
- L-функции могут быть записаны как произведение Эйлера в полуплоскости абсолютной сходимости.
- Примитивные символы упрощают формулировку результатов, связанных с L-функциями.
- L-функция от примитивного символа равна L-функции от символа, индуцирующего его, умноженной на конечное число множителей.
-
Функциональное уравнение
- L-функции удовлетворяют функциональному уравнению, позволяющему аналитически продолжить их на всей комплексной плоскости.
- Функциональное уравнение связывает L(s, χ) с L(1-s, χ¯).
- L-функции являются целыми функциями от s при условии, что χ — примитивный символ по модулю q при q > 1.
-
Нули L-функций
- В L(s, θ) нет нулей при Re(s) > 1.
- Для Re(s) < 0 нули могут быть простыми или тривиальными.
- Нетривиальные нули симметричны относительно критической линии Re(s) = 1/2.
- Обобщенная гипотеза Римана предполагает, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой Re(s) = 1/2.
-
Связь с дзета-функцией Гурвица
- L-функции Дирихле могут быть записаны как линейная комбинация дзета-функции Гурвица при рациональных значениях.
- Дзета-функция Гурвица для рационального a обладает аналитическими свойствами, тесно связанными с L-функциями Дирихле.