Оглавление
- 1 Лагранжева когерентная структура
- 1.1 Лагранжевы когерентные структуры (LCSS)
- 1.2 Наблюдение за трассирующими узорами
- 1.3 Надежность LCSS
- 1.4 Физические явления, регулируемые LCSS
- 1.5 Общие определения
- 1.6 LCSs как исключительные материальные поверхности
- 1.7 LCSs против классических инвариантных многообразий
- 1.8 Объективность LCSS
- 1.9 Примеры LCSS
- 1.10 Ограничения эвристических подходов
- 1.11 Классификация потока по критерию Окубо-Вайсса
- 1.12 Инвариантность LCSS к системе отсчета
- 1.13 Определение гиперболических LCSS
- 1.14 Диагностический подход: гребни показателя Ляпунова
- 1.15 Вычисление показателей Ляпунова
- 1.16 Проблемы с выводом гиперболических LCSS из небольших гребней
- 1.17 Эволюционирующие гребни второй производной
- 1.18 Локальный вариационный подход
- 1.19 Глобальный вариационный подход
- 1.20 Эллиптические LCSS
- 1.21 Определение когерентности вращения
- 1.22 Полярные разложения градиента потока
- 1.23 Вычисление PRA
- 1.24 Визуализация эллиптических LCSS
- 1.25 Когерентность вращения по LAVD
- 1.26 Динамическое полярное разложение
- 1.27 Динамическая согласованность и LAVD
- 1.28 Определение LAVD
- 1.29 Вращательно-когерентные вихри
- 1.30 Локальная вариационная теория эллиптических LCSS
- 1.31 Согласованность на основе растяжения
- 1.32 Параболические LCSS
- 1.33 Пакеты программного обеспечения
- 1.34 Полный текст статьи:
- 2 Лагранжева когерентная структура – Arc.Ask3.Ru
Лагранжева когерентная структура
-
Лагранжевы когерентные структуры (LCSS)
- Выделенные поверхности траекторий в динамической системе
- Оказывают значительное влияние на близлежащие траектории
- Создают согласованные траектории
-
Наблюдение за трассирующими узорами
- Согласованные признаки легко выявляются
- Интерес представляет структура, создающая эти признаки
-
Надежность LCSS
- LCSS надежны и упрощают общую динамику системы
- Используются для проверки моделей, сравнения моделей и анализа
-
Физические явления, регулируемые LCSS
- Плавающий мусор, разливы нефти, поверхностные дрейфующие объекты
- Облака вулканического пепла, споры в атмосфере
- Когерентные структуры скопления людей и животных
-
Общие определения
- Материальные поверхности в фазовом пространстве
- Инвариантные многообразия и эволюционирующие временные срезы
-
LCSs как исключительные материальные поверхности
- Устойчивое и последовательное воздействие на близлежащие траектории
- Примеры: притяжение, отталкивание, сдвиг
- LCSS как экстремумы для свойства когерентности
-
LCSs против классических инвариантных многообразий
- LCSS инвариантны в расширенном фазовом пространстве
- Классические инвариантные многообразия инвариантны в фазовом пространстве
-
Объективность LCSS
- LCSS подчиняются требованию объективности
- Инвариантны по отношению к изменениям наблюдателя
- Используются величины, не зависящие от структуры
-
Примеры LCSS
- Притягивающие, отталкивающие и сдвигающие LCSS в двумерной турбулентности
- LCSS в нестационарном поле скоростей жидкости
-
Ограничения эвристических подходов
- Величины, зависящие от кадра, могут отражать особенности поля скоростей
- Способность фиксировать смешивание и когерентность ограничена
-
Классификация потока по критерию Окубо-Вайсса
- Поток классифицируется как эллиптический, если q < 0.
- Поток является гиперболическим, если траектории экспоненциально растут и сужаются.
-
Инвариантность LCSS к системе отсчета
- Уравнения Ньютона и Навье-Стокса зависят от системы отсчета.
- LCSS остаются инвариантными при преобразовании уравнений движения.
-
Определение гиперболических LCSS
- Притягивающие LCSS — локально наиболее сильные притягивающие поверхности.
- Отталкивающие LCSS — локально наиболее прочные отталкивающие поверхности.
-
Диагностический подход: гребни показателя Ляпунова
- Эвристический метод поиска отталкивающих LCSS через гребни показателя Ляпунова.
- Гребни показателя Ляпунова определяются как локальные максимизирующие поверхности.
-
Вычисление показателей Ляпунова
- Классическое вычисление показателей Ляпунова требует решения линейного дифференциального уравнения.
- Более целесообразный подход — конечно-разностное приближение градиента деформации.
-
Проблемы с выводом гиперболических LCSS из небольших гребней
- Тонкие гребни полезны для визуализации, но не формируют материальные поверхности.
- Гребни из FTLE не могут использоваться для определения гиперболических LCSS.
-
Эволюционирующие гребни второй производной
- Эволюционирующие гребни второй производной не всегда являются LCSS.
- Тонкие выступы второй производной не существуют в физических задачах.
- Небольшие гребни не являются лагранжевыми и имеют небольшой поток материала.
-
Локальный вариационный подход
- Локальная вариационная теория определяет LCSS как наиболее отталкивающие поверхности материала.
- Отталкивающие LCSS определяются как поверхности с максимальным отталкиванием.
- Притягивающие LCSS определяются как поверхности с минимальным отталкиванием.
-
Глобальный вариационный подход
- Геодезическая теория рассматривает LCSS как нулевые геодезические метрических тензоров.
- Отталкивающие LCSS являются нулевыми геодезическими лоренцевского метрического тензора.
- Притягивающие LCSS также являются нулевыми геодезическими, но с другим метрическим тензором.
-
Эллиптические LCSS
- Эллиптические LCSS имитируют поведение торов Колмогорова–Арнольда–Мозера.
- Их согласованность достигается за счет однородного вращения материала или однородных свойств при растяжении.
-
Определение когерентности вращения
- Эллиптическая LCS определяется как трубчатая поверхность материала, вдоль которой небольшие объемы совершают одно и то же суммарное вращение.
- Сложность заключается в том, что волокна материала совершают различные вращения.
-
Полярные разложения градиента потока
- Используются уникальные левое и правое полярные разложения градиента потока.
- Тензор вращения Rt0t1 интерпретируется как составляющая вращения объемных элементов.
- В двух и трех измерениях существует полярный угол поворота (PRA).
-
Вычисление PRA
- В двумерных потоках PRA вычисляется на основе инвариантов Ct0t1.
- В трехмерных потоках PRA также вычисляется на основе инвариантов Ct0t1.
-
Визуализация эллиптических LCSS
- В двух измерениях эллиптические LCSS визуализируются как замкнутые кривые уровня PRA.
- В трех измерениях эллиптические LCSS представляют собой тороидальные или цилиндрические плоские поверхности PRA.
-
Когерентность вращения по LAVD
- Наборы уровней PRA объективны в двух измерениях, но не в трех.
- Динамическое полярное разложение (DPD) решает проблему необъективности и динамической несогласованности.
-
Динамическое полярное разложение
- DPD имеет вид ∇Ft0t = Ot0t Mt0t = Nt0t Ot0t.
- Динамический тензор вращения Ot0t раскладывается на два градиента деформации: относительное вращение Φt0t и среднее вращение Θt0t.
-
Динамическая согласованность и LAVD
- Φt0t является динамически согласованным и объективным.
- Внутренний угол поворота ψt0t(x0) равен половине LAVD.
- LAVD определяется как усредненная по траектории величина отклонения завихренности от ее пространственного среднего значения.
-
Определение LAVD
- LAVD (Laminar Angle of View Difference) — интеграл по времени от разности углов поворота материала.
- Применяется в двух и трех измерениях.
- Определяет начальные положения границ вихрей.
-
Вращательно-когерентные вихри
- Центры вихрей являются наблюдаемыми центрами притяжения или отталкивания.
- В трехмерных потоках трубчатые поверхности уровня LAVD определяют начальные положения вихрей.
-
Локальная вариационная теория эллиптических LCSS
- Поверхности материала, максимизирующие сдвиг в течение конечного интервала времени.
- Вводятся двумерные и трехмерные векторные поля сдвига.
- Критерии для двух- и трехмерных эллиптических LCSS.
-
Согласованность на основе растяжения
- Глобальный вариационный подход для эллиптических LCSS.
- Замкнутые нулевые геодезические обобщенного тензора деформации Грина-Лагранжа.
- Траектории движения называются лямбда-линиями.
-
Параболические LCSS
- Поверхности без сдвига, очерчивающие сердцевины струйных траекторий.
- Диагностический подход: траншеи показателей Ляпунова за конечное время.
- Глобальный вариационный подход: гетероклинические цепочки нулевых геодезических.
-
Пакеты программного обеспечения
- Адвекция частиц и вычисление показателя Ляпунова за конечное время.
- Примеры пакетов: МанГен, Набор LCS MATLAB, FlowVC, cuda_ftle, CTRAJ, Ньюман, FlowTK.
- Записные книжки Jupyter для извлечения транспортных барьеров из данных о скорости.