Линейная карта

• Определение и свойства линейных карт

  • Линейная карта — это отображение, которое сохраняет линейные операции. 
  • Линейная карта сохраняет скалярное произведение векторов. 
  • Линейная карта является гомоморфизмом векторных пространств. 

• Примеры линейных карт

  • Отображение из R в R, умножение на скаляр, является линейной картой. 
  • Отображение из R^2 в R, сложение векторов, является линейной картой. 

• Свойства линейных карт

  • Линейная карта является аддитивной: сумма двух линейных карт равна сумме их результатов. 
  • Линейная карта однородна: умножение на скаляр сохраняет результат. 

• Линейные расширения

  • Линейная карта может быть расширена до линейного отображения всего пространства, если она определена на подмножестве. 
  • Линейное продолжение существует, если подмножество является векторным подпространством. 
  • Линейное расширение уникально и сохраняет линейные операции. 

• Линейные функционалы и их расширения

  • Линейный функционал имеет линейное расширение на все пространство. 
  • Линейное расширение функционала доминируется заданной полунормой. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.