Локально связанное пространство

• Определение и свойства локально связного пространства

  • Пространство X называется локально связным, если каждое его открытое подмножество связно. 
  • Локально связное пространство является топологическим пространством, в котором каждое открытое подмножество является связным. 
  • Локально связное пространство является локально компактным и хаусдорфовым. 

• Примеры локально связных пространств

  • Пространство 
  • R 
  • {\displaystyle \mathbb {R}} 
  • является локально связным. 
  • ( 
  • × 
  • ) 
  • ∖ 
  • { 
  • 0 
  • , 
  • } 
  • {\displaystyle (\mathbb {R}\times \mathbb {R})\setminus \{(0,0)\}} 

• Свойства локально связных пространств

  • Локально связное пространство является хаусдорфовым и локально компактным. 
  • Локально связное пространство является топологически непересекающимся объединением своих связных компонент. 
  • Локально связное пространство является топологическим пространством, в котором каждая точка имеет окрестность, содержащую только связные точки. 

• Связь с другими понятиями связности

  • Локально связное пространство является локально просто связным, но не обязательно просто связным. 
  • Локально связное пространство может быть локально просто связным, но не просто связным. 
  • Локально связное пространство является локально связанным, но не обязательно локально просто связанным. 

• Примеры пространств с различными свойствами связности

  • Я 
  • {\displaystyle I\times I} 
  • является локально связанным, но не локально просто связанным. 

• Квазикомпоненты и их связь с компонентами и траекториями

  • Квазикомпоненты — это классы эквивалентности точек по отношению эквивалентности 
  • x 
  • ≡ 
  • q 
  • c 
  • y 
  • {\displaystyle x\equiv _{qc}y} 
  • . 
  • Квазикомпоненты могут быть охарактеризованы как пересечения всех замкнутых подмножеств, содержащих точку. 
  • Если пространство локально связно, то квазикомпоненты совпадают с компонентами и траекториями. 

• Примеры пространств с различными квазикомпонентами

  • Пространство с двойной предельной точкой имеет квазикомпоненты, не совпадающие с компонентами. 
  • Пространство Аренса-Форта локально не связно, но квазикомпоненты и компоненты совпадают.