Mathematical formulation of the Standard Model
-
Основные понятия
- Стандартная модель описывает фундаментальные частицы: лептоны, кварки, калибровочные бозоны и бозон Хиггса.
- Модель ренормализуема и математически самосогласованна, но не объясняет некоторые явления.
- В современной теории поля она рассматривается как эффективная теория.
-
Квантовая теория поля
- Стандартная модель — квантовая теория поля, где фундаментальные объекты — квантовые поля.
- Поля описывают частицы как возбужденные состояния.
- Поля являются оператор-значными и не коммутируют.
-
Альтернативные представления полей
- Фermion поля могут быть разделены на компоненты для разных типов частиц.
- Электроweak теория добавила компоненты для нейтрино.
- Quarks требуют дополнительных компонентов для учета цвета и аромата.
-
Киральная теория
- Фermion поля можно разделить на левые и правые компоненты.
- Левые компоненты участвуют в слабых взаимодействиях, правые — нет.
- Правые нейтрино появились из-за осцилляций, но не меняют киральную природу слабых взаимодействий.
-
Масса и взаимодействие
- Различаются масса и взаимодействие eigenstates частиц.
- Для кварков используется масса, для лептонов — взаимодействие.
- Матрицы CKM и PMNS позволяют переключаться между состояниями.
-
Положительные и отрицательные энергии
- Поля могут быть разделены на положительные и отрицательные части.
- Это не часто используется в квантовой теории поля, но важно при квантизации.
-
Бозоны
- Электроweak бозоны W1, W2, W3 и B смешиваются для создания наблюдаемых состояний.
- Z-бозон — массивный нейтральный, A-бозон — безмассовый нейтральный, W±-бозоны — массивные заряженные.
- A-бозон — это фотон, Z-бозон вносит вклад в электромагнитные процессы, но мал из-за массы.
-
Разложение Лагранжиана
- Лагранжиан разлагается на свободную и взаимодействующую части.
- Свободные поля описывают изолированные частицы, взаимодействия возникают при взаимодействии нескольких частиц.
- В квантовой механике состояние частицы меняется только при взаимодействии.
-
Свободные поля
- Свободные поля удовлетворяют определенным уравнениям.
- Уравнения для фермионов, фотонов, хиггсовского поля и полей слабых взаимодействий.
- Решения уравнений могут быть выражены через Фурье-ряды.
-
Взаимодействие и перенормировка
- Взаимодействие можно выразить через перенормировку.
- Перенормировка изменяет массу свободных частиц, добавляя члены в лагранжиан.
- Перенормировка также объясняет массы частиц через поле Хиггса.
-
Фейнман диаграммы
- Фейнман диаграммы представляют собой графическое представление взаимодействий.
- Диаграммы строятся из вершин и ребер, соответствующих различным частям лагранжиана.
-
Лагранжиан и симметрии
- Лагранжиан должен быть инвариантным относительно калибровочной и релятивистской симметрий.
- Калибровочная симметрия включает SU(3) × SU(2) × U(1), что приводит к трем фундаментальным взаимодействиям.
-
Кинетические и динамические члены
- Кинетические члены описывают движение частиц.
- Динамические члены включают взаимодействия и массы.
-
Кинетические члены для фермионов
- Кинетический член для фермионов включает массу и производные по времени.
- Включается в динамические члены.
-
Кинетические члены для калибровочных полей
- Для калибровочных полей определяется тензор поля.
- Тензор поля включает производные по времени и структуру констант группы.
- Вводится три калибровочных поля для SU(3), SU(2) и U(1).
-
Соединение и калибровочные поля
- Соединение обозначается как gw или g.
- Поле датчика обозначается как Wμa.
- Тензор калибровочного поля для U(1) слабого гиперзаряда обозначается как Bμv.
- Связь обозначается как g’, калибровочное поле как Bμ.
-
Кинетический термин
- Кинетический термин записывается как Lкин = −1/4 BμνBμν − 1/2 tr WμνWμν − 1/2 tr GμνGμν.
- Трассы проходят по индексам SU(2) и SU(3).
- Объекты с двумя индексами — значения напряженности поля.
- Есть два дополнительных скрытых параметра: тета-углы для SU(2) и SU(3).
-
Условия соединения
- Калибровочные поля привязываются к фермионам для осуществления взаимодействий.
-
Электрослабый сектор
- Электрослабый сектор взаимодействует с группой симметрии U(1) × SU(2)L.
- Лагранжиан электрослабого взаимодействия: LEW = ∑ψψ¯γμ(∂μ − g’YWBμ − gτWμ)ψ.
- Bμ — калибровочное поле U(1), YW — слабый гиперзаряд, Wμ — трехкомпонентное калибровочное поле SU(2), τ — матрицы Паули.
- Q = T3 + 1/2 YW.
- Сохраняющиеся токи: jμ = 1/2 ψ¯LγμτψL, jμY = 2(jμem − jμ3).
-
Сектор квантовой хромодинамики
- Сектор квантовой хромодинамики определяет взаимодействия между кварками и глюонами.
- Дираковский лагранжиан кварков: LQCD = iU¯(∂μ − igsGμaTa)γμU + iD¯(∂μ − igsGμaTa)γμD.
-
Термины массы и механизм Хиггса
- Массовые термины не инвариантны относительно электрослабой симметрии.
- Механизм Хиггса включает скалярные поля, которые «поглощаются» массивными бозонами.
- Поле Хиггса: ϕ = 1/√2(ϕ+ ϕ0).
- Лагранжиан Хиггса: LH = [(∂μ − igWμaTa − ig’YϕBμ)ϕ]2 + μ2ϕ†ϕ − λ(ϕ†ϕ)2.
- v — математическое ожидание поля Хиггса в вакууме.
- Взаимодействие с Юкавой: LЮкава = (Yumn)(q¯Lmφ~(uRn) + (Ydmn)(q¯Lmφ(dRn) + (Yenmn)(L¯Lmφ~(eRn) + h.c.
-
Массы нейтрино
- Нейтрино должны обладать массой, но в стандартной модели правостороннего нейтрино нет.
- Решение: добавление правостороннего нейтринного vR и нового массового члена Дирака в секторе Юкавы.
-
Поле нейтрино и его свойства
- Нейтрино должно быть стерильным, так как оно принадлежит изоспиновому синглету и имеет нулевой заряд.
- Экспериментальные доказательства существования стерильных нейтрино неубедительны.
-
Уравнение Майораны и его последствия
- Нейтрино может удовлетворять уравнению Майораны, что добавляет новый термин массы.
- Для левосторонних нейтрино термин изменяет слабый гиперзаряд, что невозможно при стандартном взаимодействии Хиггса.
- Для правосторонних нейтрино расширения Хиггса не требуются.
-
Массовые термины и их влияние
- Массовые термины могут объяснить малость наблюдаемых масс нейтрино.
- Массовые собственные состояния нейтрино остаются открытыми.
-
Стандартная модель и её параметры
- Стандартная модель содержит 19 параметров, которые устанавливаются экспериментально.
- Для массивных нейтрино требуется еще 7 параметров, что делает модель 26-параметрической.
-
Дополнительные симметрии стандартной модели
- Стандартная модель демонстрирует четыре дополнительные глобальные симметрии.
- Эти симметрии называются случайными симметриями и являются непрерывными U(1) глобальными симметриями.
-
Преобразование кварковых полей
- Все кварковые поля для всех поколений должны быть повернуты на одинаковую фазу одновременно
- Поля ML, TL и (μR)c, (τR)c аналогичны 2-му и 3-му поколениям EL и (eR)c
-
Сохранение барионного числа
- Каждому кварку присваивается барионный номер 1/3, антикварку — -1/3
- Число кварков за вычетом числа антикварков постоянно
- Экспериментально нарушение закона сохранения не обнаружено
-
Сохранение лептонных чисел
- Каждому электрону и нейтрино присваивается электронный номер +1, антиэлектрону и антинейтрино — -1
- Мюонам и нейтрино присваивается мюонное число +1, тау-лептонам — тау-лептонное число +1
- Стандартная модель предсказывает сохранение этих чисел, но экспериментально они не сохраняются
-
Приблизительные симметрии
- SU(2) симметрия содержания и SU(2) или SU(3) симметрия вкуса кварков
- U(1) симметрия для лептонов и кварков
-
Заряженные и нейтральные токи
- Заряженные токи включают jμ- и jμ+
- Нейтральные токи включают jμ3 и jμem
- Нейтральная часть тока в лагранжиане включает jμemAμ и gcosθW(Jμ3-sin2θW jμem)Zμ
-
Физика за пределами стандартной модели
- Проблемы иерархии, темной материи, темной энергии, квинтэссенции и другие
- Теории, такие как теория Бранса–Дикке, гипотеза космической цензуры, F-теория и другие
- Проблемы совместимости стандартной модели с общей теорией относительности