Оглавление
- 1 Метризуемое топологическое векторное пространство
- 1.1 Метризуемые и псевдометризуемые топологические векторные пространства
- 1.2 Псевдометрия и её свойства
- 1.3 Псевдометрическое пространство
- 1.4 Псевдометризуемые пространства
- 1.5 Псевдометрические параметры и значения для топологических групп
- 1.6 Значения и их свойства
- 1.7 Эквивалентность в топологических группах
- 1.8 Инвариантная псевдометрия и векторная топология
- 1.9 Аддитивные последовательности
- 1.10 Определение функции f
- 1.11 Непрерывность и метрика
- 1.12 Паранормальные явления
- 1.13 Примеры паранормальных явлений
- 1.14 Паранормальные явления
- 1.15 F-полунормы
- 1.16 Топология, индуцированная F-полунормами
- 1.17 Комбинация Фреш
- 1.18 Комбинация Фреше
- 1.19 Паранормальные явления
- 1.20 Обобщение с ограниченной функцией переметризации
- 1.21 Характеристики псевдометрических и метризуемых пространств
- 1.22 Теорема Биркгофа–Какутани
- 1.23 Локально выпуклые псевдометризуемые TVS
- 1.24 Факторы
- 1.25 Примеры и достаточные условия
- 1.26 Псевдометрические TVS
- 1.27 Сильные двойственные пространства
- 1.28 Нормализуемость
- 1.29 Метрически ограниченные множества
- 1.30 Свойства псевдометризуемых TVS
- 1.31 Полнота
- 1.32 Сходимость в псевдометризуемых TVS
- 1.33 Подмножества и подпоследовательности
- 1.34 Метрики и сходимость
- 1.35 Замкнутость и полнота
- 1.36 Теорема Банаха-Сакса
- 1.37 Условие счетности Мэкки
- 1.38 Обобщенные ряды
- 1.39 Линейные карты
- 1.40 Открытые и почти открытые карты
- 1.41 Полный текст статьи:
- 2 Метризуемое топологическое векторное пространство – Arc.Ask3.Ru
Метризуемое топологическое векторное пространство
-
Метризуемые и псевдометризуемые топологические векторные пространства
- Метризуемое топологическое векторное пространство (TVS) — это TVS, топология которого индуцируется метрикой.
- Псевдометризуемое топологическое векторное пространство — это TVS, топология которого индуцируется псевдометрикой.
-
Псевдометрия и её свойства
- Псевдометрия — это карта, удовлетворяющая свойствам симметрии, субаддитивности и идентичности неразличимых.
- Ультрапсевдометрия — это псевдометрия, удовлетворяющая неравенству сильного/ультраметрического треугольника.
-
Псевдометрическое пространство
- Псевдометрическое пространство — это пара (X, d), где X — множество, а d — псевдометрия на X.
- Топология, индуцированная псевдометрикой, называется d-топологией.
-
Псевдометризуемые пространства
- Топологическое пространство называется псевдометризуемым, если существует псевдометрический d, индуцирующий топологию.
-
Псевдометрические параметры и значения для топологических групп
- Аддитивная топологическая группа — это аддитивная группа с топологией, делающей сложение и отрицание непрерывными.
- Векторная топология — это топология, делающая сложение и скалярное умножение непрерывными.
- Псевдометрия, инвариантная к трансляции, удовлетворяет условиям инвариантности и симметричности.
-
Значения и их свойства
- Значение — это вещественнозначная карта, удовлетворяющая условиям неотрицательности, субаддитивности, симметричности и полноты.
- Свойства значений включают неравенства и аддитивные свойства.
-
Эквивалентность в топологических группах
- Инвариантная к трансляции псевдометрия и значение связаны.
- Псевдометризуемые топологические группы эквивалентны индуцируемым псевдометриками и инвариантными к трансляции псевдометриями.
-
Инвариантная псевдометрия и векторная топология
- Инвариантная к трансляции псевдометрия не всегда индуцирует векторную топологию.
- Пример показывает, что инвариантной к трансляции псевдометрии недостаточно для векторной топологии.
-
Аддитивные последовательности
- Аддитивная последовательность множеств — это набор подмножеств векторного пространства, удовлетворяющий условиям аддитивности и непрерывности сложения.
- Аддитивные последовательности определяют неотрицательные непрерывные вещественнозначные субаддитивные функции.
-
Определение функции f
- Функция f: X → [0, 1] определяется как f(x) = 1, если x не в U0, и как inf{2^-n1 + … + 2^-nk: n1, …, nk ∈ S(x)}.
- f является субаддитивной и f(0) = 0.
- Если U1, …, Uk симметричны, то f(-x) = f(x).
- Если U1, …, Uk сбалансированы, то f(sx) ≤ f(x) для всех s.
-
Непрерывность и метрика
- Если X является топологическим векторным пространством, то f является непрерывным.
- Если X является Хаусдорфом и U1, …, Uk образуют основу сбалансированного соседства, то d(x, y) = f(x – y) является метрикой.
-
Паранормальные явления
- Паранормальная норма p: X → R удовлетворяет условиям непрерывности умножения и полноты.
- Паранормальная норма p определяет инвариантную к трансляции псевдометрию d на X, которая определяет векторную топологию.
- Набор {x ∈ X: p(x) = 0} является векторным подпространством X.
- Если p удовлетворяет p(sx) ≤ |s|p(x) для всех x, s, то p является абсолютной однородностью и полунормой.
-
Примеры паранормальных явлений
- Если d является инвариантной к перемещению псевдометрией, то p(x) := d(x – y, 0) является паранормальной нормой.
-
Паранормальные явления
- Паранормальные явления — это карты, которые удовлетворяют определенным условиям.
- Каждая полунорма является паранормой.
- Ограничение паранормального к векторному подпространству также является паранормой.
- Сумма двух паранорм также является паранормой.
-
F-полунормы
- F-полунорма — это карта с реальной стоимостью, удовлетворяющая определенным условиям.
- F-полунормы являются паранормами и эквивалентны обычным нормам.
- Каждая F-полунорма является значением на векторном пространстве.
-
Топология, индуцированная F-полунормами
- Каждая F-полунорма определяет векторную топологию на векторном пространстве.
- Сбалансированные множества образуют базис окрестности в начале координат.
- Топология, индуцированная семейством F-полунорм, является самой грубой векторной топологией, делающей каждую F-полунорму непрерывной.
-
Комбинация Фреш
- Семейство неотрицательных субаддитивных функций может быть объединено в F-полунорму.
-
Комбинация Фреше
- Определяется как вещественнозначная карта
- Приводит к F-полунорме на X
- Базис открытых окрестностей состоит из множеств вида {x ∈ X : p(x) < r}
-
Паранормальные явления
- Если каждый p(x) является паранормальным явлением, то p(x) также является паранормальным явлением
- Примеры паранормальных явлений: q(x) := inf{∑i=1n p(x) + 1/n: n > 0 является целым числом} и r(x) := ∑n=1∞ min{1/2n, p(x)}
-
Обобщение с ограниченной функцией переметризации
- Функция ограниченной переметризации R: [0, ∞) → [0, ∞)
- Примеры: арктангенс, тангенс, min{t, 1}, t/1+t
- R ∘ d является ограниченной псевдометрией или метрикой, равномерно эквивалентной d
-
Характеристики псевдометрических и метризуемых пространств
- Псевдометрический d индуцируется полунормой тогда и только тогда, когда d инвариантен к трансляции и абсолютно однороден
- Псевдометризуемые TVS эквивалентны: X является псевдометризуемым, имеет счетную базу окрестностей в начале координат, индуцируется инвариантной к трансляции псевдометрией, индуцируется F-полунормой, индуцируется паранормальными явлениями
- Метризуемые TVS эквивалентны: X поддается метризации, является хаусдорфовым и псевдометризуемым, индуцируется инвариантной к трансляции метрикой, индуцируется F-нормой, индуцируется монотонной F-нормой, индуцируется тотальной паранормальностью
-
Теорема Биркгофа–Какутани
- Если X является топологическим векторным пространством, то X является метризуемым тогда и только тогда, когда существует инвариантная к трансляции метрика, наводящая на X топологию τ
-
Локально выпуклые псевдометризуемые TVS
- X является локально выпуклым и псевдометризуемым тогда и только тогда, когда X имеет счетную базу окрестностей в начале координат, состоящую из выпуклых множеств, индуцируется счетным семейством полунорм, индуцируется счетной возрастающей последовательностью полунорм, индуцируется F-полунормой вида p(x) = ∑n=1∞ 2−n арктангенс pn(x)
-
Факторы
- Если X является псевдометризуемым TVS, то X/M является псевдометризуемым
- Если X является метризуемым TVS, то X/M поддается метризации
- Если p является F-полунормой на X, то P(x+M) := inf{p(x+m): m ∈ M} является F-полунормой на X/M
-
Примеры и достаточные условия
- Каждое полунормированное пространство поддается псевдометризации с помощью канонической псевдометрии
- Если (X, d) является псевдометрическим TVS с инвариантным к трансляции псевдометрическим d, то p(x) := d(x, 0) определяет паранормальное явление
-
Псевдометрические TVS
- Псевдометрические TVS могут не быть ни F-полунормируемыми, ни паранормируемыми.
- TVS с ограниченной окрестностью начала координат псевдометризуемы, но обратное неверно.
- Хаусдорфовы TVS с ограниченной окрестностью начала координат метризуемы.
-
Сильные двойственные пространства
- Сильное двойственное пространство метризуемого локально выпуклого пространства является DF-пространством.
- Сильное двойственное пространство рефлексивного пространства Фреше является борнологическим пространством.
- Сильное двудуальное пространство метризуемого локально выпуклого пространства является пространством Фреше.
-
Нормализуемость
- TVS полунормативно тогда и только тогда, когда имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат.
- TVS нормируем тогда и только тогда, когда хаусдорфов и полунормируем.
- Метризуемое TVS в конечномерном векторном пространстве является нормируемым локально выпуклым полным TVS.
-
Метрически ограниченные множества
- Набор B метрически ограничен, если существует действительное число R такое, что d(x, y) ≤ R для всех x, y ∈ B.
- Если B ограничен псевдометризуемым TVS X, то она метрически ограничена.
-
Свойства псевдометризуемых TVS
- Все бесконечномерные сепарабельные полные метризуемые TVS гомеоморфны.
- Каждое метризуемое локально выпуклое TVS является квазиступенчатым, борнологическим и пространством Макки.
- Полное псевдометризуемое пространство TVS является замкнутым и пространством Бэра.
-
Полнота
- Каждое топологическое векторное пространство имеет каноническую однородную структуру.
- Если X является псевдометризуемым TVS с инвариантным к трансляции псевдометрическим d, то d является полным тогда и только тогда, когда X является полным TVS.
- Если X — система с топологией, индуцированной паранормальным p, то X является полным тогда и только тогда, когда для каждой последовательности (xi) в X, если ∑i=1∞p(xi)<∞, то ∑i=1∞xi.
-
Сходимость в псевдометризуемых TVS
- Если M является замкнутым векторным подпространством полного псевдометризуемого TVS X, то частное пространство X/M является завершенным.
- Если M является полным векторным подпространством метризуемого TVS X и если частное пространство X/M является полным, то X также является полным.
- Если X не завершено, то M:=X не является полным векторным подпространством X.
-
Подмножества и подпоследовательности
- Если S является ограниченным подмножеством C, то существует ограниченное подмножество R от X такое, что S ⊆ clC R.
- Каждое полностью ограниченное подмножество локально выпуклого метризуемого TVS X содержится в замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке некоторой последовательности в X, сходящейся к 0.
- В псевдометризуемом TVS каждое прирожденное животное является окрестностью источника.
-
Метрики и сходимость
- Если d является инвариантной к перемещению метрикой в векторном пространстве X, то d(nx,0) ≤ nd(x,0) для всех x ∈ X и каждого положительного целого числа n.
- Если (xi)i=1∞ является нулевой последовательностью в метризуемом TVS, то существует последовательность (ri)i=1∞ положительных действительных чисел, расходящихся до ∞, такая, что (rixi)i=1∞ → 0.
-
Замкнутость и полнота
- Подмножество полного метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно завершено.
- Если пробел X значит, что X не завершено, то X является замкнутым подмножеством X, но не полным.
- Если X является метризуемым локально выпуклым TVS, то для каждого ограниченного подмножества B от X существует ограниченный диск D в X такой, что B ⊆ XD, и X и XD индуцируют ту же топологию подпространства на B.
-
Теорема Банаха-Сакса
- Если (xn)n=1∞ является последовательностью в локально выпуклом метризуемом TVS (X,τ), которая слабо сходится к некоторому x ∈ X, то существует определенная последовательность y∙ = (yi)i=1∞ в X такая, что y∙ → x в (X,τ) и каждый yi является выпуклой комбинацией конечного числа xn.
-
Условие счетности Мэкки
- Если X является локально выпуклым метризуемым TVS и (Bi)i=1∞ является счетной последовательностью ограниченных подмножеств X, то существует ограниченное подмножество B от X и последовательность (ri)i=1∞ положительных действительных чисел, таких, что Bi ⊆ riB для всех i.
-
Обобщенные ряды
- Для любого I-индексированной семейной группы (ri)i∈I векторов с экрана телевизора X можно определить их сумму ∑i∈I ri как предел сети конечных частичных сумм F ∈ Конечные поднаборы(I) ↦ ∑i∈F ri, где F ∈ Конечные поднаборы(I) ⊆.
- Если I = N и X = R, то обобщенный ряд ∑i∈N ri сходится тогда и только тогда, когда ∑i=1∞ ri сходится безусловно в обычном смысле.
- Если обобщенный ряд ∑i∈I ri сходится в метризуемых TVS, то {i ∈ I: ri ≠ 0} обязательно является счетным.
-
Линейные карты
- Если X представляет собой псевдометризуемые TVS и A отображает ограниченные подмножества X к ограниченным подмножествам Y, то A является непрерывным.
- Разрывные линейные функционалы существуют на любом бесконечномерном псевдометризуемом TVS.
- Если F: X → Y представляет собой линейную карту между TVSs и X является метризуемым, то F является непрерывным тогда и только тогда, когда F является (локально) ограниченной картой, последовательно непрерывной, и изображение под F из каждой нулевой последовательности в X представляет собой ограниченное множество.
-
Открытые и почти открытые карты
- Свойство расширения Хана-Банаха: векторное подпространство M из телевизора X обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал на M может быть расширен до непрерывного линейного функционала на X.
- Скажем, что телевизор X обладает свойством расширения Хана-Банаха (HBEP), если каждое векторное подпространство X обладает свойством расширения.
- Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое Хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP.
- Для полностью метризуемых TVSS существует обратная схема: теорема Калтона — каждый полный метризуемый TVS со свойством расширения Хана-Банаха локально выпуклый.
- Если векторное пространство X имеет бесчисленную размерность и наделено тончайшей векторной топологией, то это будет TVS с HBEP, который не является локально выпуклым или метризуемым.