Оглавление [Скрыть]
- 1 Коллектор Келера
- 1.1 Определение многообразия Келера
- 1.2 Геометрия Келера
- 1.3 Симплектическая точка зрения
- 1.4 Сложная точка зрения
- 1.5 Точка зрения Римана
- 1.6 Потенциал Келера
- 1.7 Пространство потенциалов Келера
- 1.8 Коллекторы Kähler и устройства для уменьшения объема
- 1.9 Идентичности Келера
- 1.10 Лапласиан на многообразии Кэлера
- 1.11 Оператор “Ходж Стар” и лапласианы
- 1.12 Разложение Ходжа и когомологии
- 1.13 Симметрия и личность Ходжа
- 1.14 Топология компактных многообразий Келера
- 1.15 Группы Келера и проективные многообразия
- 1.16 Многообразия Келера–Эйнштейна
- 1.17 Метрики Келера–Эйнштейна
- 1.18 Голоморфная кривизна сечения
- 1.19 Связь с комплексной геометрией
- 1.20 Примеры многообразий Келера
- 1.21 Метрики на CPn и эрмитовых симметричных пространствах
- 1.22 Примеры некомпактных эрмитовых симметричных пространств
- 1.23 Другие примеры
- 1.24 Полный текст статьи:
- 2 Многообразие Кэлера
Коллектор Келера
-
Определение многообразия Келера
- Многообразие Келера имеет три совместимые структуры: комплексную, риманову и симплектическую.
- Впервые изучено Яном Арнольдусом Схоутеном и Дэвидом ван Данцигом в 1930 году, представлено Эрихом Келером в 1933 году.
- Терминология исправлена Андре Вейлем.
-
Геометрия Келера
- Изучение многообразий Келера, их геометрии и топологии.
- Изучение структур и конструктов, таких как эрмитовы связи Янга–Миллса и метрики Келера–Эйнштейна.
- Каждое гладкое комплексное проективное многообразие является многообразием Келера.
-
Симплектическая точка зрения
- Многообразие Келера — симплектическое многообразие с интегрируемой почти сложной структурой.
- Форма Келера ω является реальной замкнутой (1,1)-формой.
-
Сложная точка зрения
- Многообразие Келера — сложное многообразие с эрмитовой метрикой h.
- Форма Келера ω замкнута и определяет элемент в когомологиях де Рама.
-
Точка зрения Римана
- Многообразие Келера — риманово многообразие с группой голономии в унитарной группе.
- Существует сложная структура J, сохраняющая метрику g.
-
Потенциал Келера
- Гладкая вещественнозначная функция ρ называется потенциалом Келера для ω.
- Локально, ω может быть описана как (i/2)∂∂¯ρ.
-
Пространство потенциалов Келера
- Пространство потенциалов Келера K позволяет изучать все метрики Келера в данном классе.
- Пространство потенциалов Келера является сжимаемым.
-
Коллекторы Kähler и устройства для уменьшения объема
- Объем замкнутого комплексного подпространства X определяется его классом гомологий.
- Каждое замкнутое комплексное подпространство Y компактного келерова многообразия X является минимальным.
-
Идентичности Келера
- Естественные тождества между операторами на комплексных дифференциальных формах.
- Тождества важны для доказательства теорем об исчезновении Кодайры и Накано, теоремы о гиперплоскости Лефшеца и других.
-
Лапласиан на многообразии Кэлера
- Лапласиан на гладкой r-форме определяется как Δd = dd∗ + d∗d.
-
Оператор “Ходж Стар” и лапласианы
- Оператор “Ходж Стар” является сопряженным к оператору d по отношению к внутреннему продукту L2 на r-формах с компактной опорой.
- Лапласианы на эрмитовом многообразии X разлагаются как d и d^*, где d^* является сопряженным к d.
- На многообразии Келера все лапласианы одинаковы с точностью до константы.
-
Разложение Ходжа и когомологии
- Разложение Ходжа связывает топологию и сложную геометрию компактных многообразий Келера.
- Когомологии Hr(X, C) разбиваются как прямая сумма групп когомологий когерентного пучка.
- Числа Ходжа определяются как dim C Hp,q(X).
-
Симметрия и личность Ходжа
- Симметрия Ходжа: hp,q = hq,p.
- Личность Ходжа: hp,q = hn-p,n-q.
-
Топология компактных многообразий Келера
- Каждое нечетное число Бетти b2a + 1 компактного келерова многообразия четно.
- Компактные келеровы многообразия формальны в смысле теории рациональных гомотопий.
-
Группы Келера и проективные многообразия
- Абелианизация кэлеровой группы должна иметь четный ранг.
- Теорема Кодайры о вложении: компактное комплексное многообразие проективно тогда и только тогда, когда существует форма Келера, класс которой соответствует образу группы интегральных когомологий.
-
Многообразия Келера–Эйнштейна
- Многообразие Келера–Эйнштейна имеет постоянную кривизну Риччи.
- Многообразия Фано, Калаби–Яу и с широким каноническим расслоением имеют различные типы кривизны Риччи.
- Гипотеза Калаби: каждое гладкое проективное многообразие с достаточным каноническим расслоением имеет метрику Келера–Эйнштейна.
- Гипотеза Яу–Тяня–Дональдсона: гладкое многообразие Фано имеет метрику Келера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно K-устойчиво.
-
Метрики Келера–Эйнштейна
- Метрики Келера–Эйнштейна автоматически становятся метриками Келера–Эйнштейна при определенных условиях.
- Голоморфная кривизна сечения измеряет отклонение риманова многообразия от стандартной метрики.
-
Голоморфная кривизна сечения
- Голоморфная кривизна сечения ограничена сложными линиями в касательном пространстве.
- CPn имеет голоморфную кривизну сечения, равную 1 везде.
- Открытый единичный шар в Cn имеет голоморфную кривизну сечения, равную -1.
-
Связь с комплексной геометрией
- Голоморфная кривизна сечения уменьшается на комплексных подмногообразиях.
- Голоморфная кривизна сечения не контролирует целевой член кривизны в оценке второго порядка леммы Шварца.
-
Примеры многообразий Келера
- Комплексное пространство Cn со стандартной метрикой является многообразием Келера.
- Компактный комплексный тор Cn /Λ является компактным многообразием Келера.
- Каждая риманова метрика на ориентированном 2-многообразии является келеровой.
-
Метрики на CPn и эрмитовых симметричных пространствах
- Метрика Фубини–Стьюда является уникальной римановой метрикой на CPn.
- Эрмитовы симметричные пространства компактного типа имеют кривизну сечения ≥ 0.
- Индуцированная метрика на комплексном подмногообразии многообразия Келера также является келеровой.
-
Примеры некомпактных эрмитовых симметричных пространств
- Открытый единичный шар B в Cn имеет полную метрику Келера с голоморфной кривизной сечения, равной -1.
- Эрмитовы симметричные пространства некомпактного типа изоморфны ограниченной области в Cn.
-
Другие примеры
- Каждая поверхность K3 имеет размер Kähler.
- Почти сложное многообразие, коллектор Гиперкелера, кватернионно-келерово многообразие и функционал K-энергии также являются примерами.