Модель Ising

• Определение и история модели Изинга

  • Модель Изинга — это статистическая модель магнетика, описывающая взаимодействие между спинами на решетке. 
  • Модель названа в честь физика Отто Изинга, который предложил ее в 1925 году. 
  • Модель Изинга является основой для изучения фазовых переходов и критического поведения в магнетиках. 

• Математическая формулировка

  • Модель Изинга описывается гамильтонианом, который зависит от параметров Jij и h. 
  • Гамильтониан модели имеет ферромагнитную симметрию, что означает, что он имеет максимум при упорядоченной конфигурации спинов. 

• Фазовый переход и критическое поведение

  • Модель Изинга претерпевает фазовый переход при изменении параметра β. 
  • В двух измерениях и более система демонстрирует ферромагнитный порядок при больших β. 
  • Рудольф Пайерлс и Ларс Онзагер внесли значительный вклад в изучение модели Изинга, в том числе в аналитическое решение для двумерной квадратной решетки. 

• Корреляционные неравенства

  • Модель Изинга имеет строгие корреляционные неравенства, которые позволяют изучать ее критичность. 
  • Неравенство Гриффитса и неравенство Саймона-Либа являются важными для понимания корреляций и фазовых переходов в модели Изинга. 

• Историческое значение и атомизм

  • Модель Изинга связана с атомизмом, который утверждает, что малые изменения в свойствах атомов приводят к большим изменениям в агрегатном поведении. 
  • Атомисты, такие как Максвелл и Больцман, использовали статистическую механику для описания поведения газов, но не все свойства жидкостей и твердых тел были объяснены. 
  • Современная квантовая механика подтвердила атомизм, но не привела к всеобщему признанию статистической механики. 

• Отсутствие фазовых переходов в конечном объеме

  • В начале 20 века некоторые ученые считали, что статистическая функция не может описать фазовый переход в конечных системах. 
  • Этот аргумент основан на том, что сумма экспонент в свободной энергии системы конечного размера не имеет особенностей. 
  • Однако для бесконечных систем бесконечная сумма экспонент может привести к сингулярностям, что соответствует фазовому переходу. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.