Оглавление
- 1 Модули алгебраических кривых
- 1.1 Пространство модулей кривых
- 1.2 Пространства тонких и грубых модулей
- 1.3 Проблема модулей гладких полных кривых
- 1.4 Стек модулей Mg
- 1.5 Неприводимость стека модулей
- 1.6 Правильность и компактность
- 1.7 Примеры пространств модулей низкого рода
- 1.8 Пространство модулей и его расслоение
- 1.9 Геометрический вывод
- 1.10 Расслоение границ
- 1.11 Модули отмеченных кривых
- 1.12 Граничная геометрия
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Модули алгебраических кривых
Модули алгебраических кривых
-
Пространство модулей кривых
- Пространство модулей кривых — геометрическое пространство, точки которого представляют классы изоморфизма алгебраических кривых.
- Пространство модулей может быть частным случаем пространства модулей.
- В зависимости от ограничений, пространство модулей различается.
-
Пространства тонких и грубых модулей
- Пространства тонких модулей классифицируют семейства гладких проективных кривых.
- Пространства грубых модулей классифицируют семейства гладких или устойчивых кривых.
-
Проблема модулей гладких полных кривых
- Основная проблема — модули гладких полных кривых фиксированного рода.
- В поле комплексных чисел они соответствуют компактным римановым поверхностям.
-
Стек модулей Mg
- Стек модулей Mg классифицирует семейства гладких проективных кривых.
- При g > 1 стек может быть компактифицирован добавлением стабильных узловых кривых.
- Стабильная узловая кривая задается 3g-3 параметрами.
-
Неприводимость стека модулей
- Стек модулей Mg является неприводимым.
- Делинь и Мамфорд доказали это, анализируя локус устойчивых кривых в схеме Гильберта.
-
Правильность и компактность
- Правильность следует из теоремы о стабильной редукции кривых.
- Пространства модулей имеют тот же размер, что и стеки при g > 1.
-
Примеры пространств модулей низкого рода
- Род 0: пространство модулей состоит из одной точки, соответствующей P1.
- Род 1: пространство модулей — аффинная линия, компактифицируемая в стек с базовой топологией P1.
- Род 2: пространство модулей полностью определяется из точки ветвления кривой.
- Род 3: пространство модулей имеет как гиперэллиптический, так и негиперэллиптический локус.
-
Пространство модулей и его расслоение
- Пространство модулей Mg может быть признано нерациональным для всех родов g.
- Севери доказал, что это справедливо для родов до 10.
- Для родов g ≥ 23 все пространства модулей относятся к общему типу.
-
Геометрический вывод
- Это означает, что линейная система на линейчатом многообразии не может содержать универсальную кривую Cg.
-
Расслоение границ
- Пространство модулей M¯g имеет естественное расслоение на границе ∂M¯g.
- Слои расслоения соответствуют кривым рода g.
- Для рода 2 существует стратификация, заданная слоями.
-
Модули отмеченных кривых
- Можно рассмотреть модули узловых кривых рода g с n отмеченными точками.
- Такие кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов конечна.
- Модули обозначаются Mg,n и имеют размер 3g-3+n.
-
Граничная геометрия
- Граница пространств модулей M¯g,n может быть описана через пространства модулей M¯g’,n’ для g’ < g.
- Двойной граф кривой связан с её локусом в M¯g,n.
- Стабильные кривые с рациональным хвостом обозначаются Mg,nr.t., а с компактным типом — Mg,nc.