Модульная арифметика

• Основы модульной арифметики

  • Модульная арифметика — это система вычислений, в которой числа ограничены по модулю заданного числа m. 
  • Используется для решения линейных систем уравнений и вычисления дискретных логарифмов. 
  • Имеет приложения в криптографии, компьютерной алгебре, химии и других областях. 

• Определение и свойства

  • Целые числа по модулю m образуют циклическую группу. 
  • Кольцо целых чисел по модулю m является полем, если m простое. 
  • Если m не простое, существует уникальное конечное поле с элементами, не изоморфными Z/mZ. 

• Приложения

  • Используется в теории чисел, теории групп, теории колец и других областях математики. 
  • Применяется в компьютерной алгебре, криптографии, информатике, химии и других дисциплинах. 

• Вычислительная сложность

  • Линейные системы конгруэнтностей решаются за полиномиальное время. 
  • Некоторые операции, такие как дискретный логарифм, являются NP-полными. 

• Примеры реализации

  • Представлены функции языка Си для модульного умножения и возведения в степень. 
  • Упомянуты ограничения на размер m для эффективности алгоритмов. 

• Рекомендации и внешние ссылки

  • Ссылки на дополнительные ресурсы и статьи о модульной арифметике.