Набор Бореля

• Определение и свойства борелевских множеств

  • Борелевские множества — это подмножества вещественной прямой, которые являются измеримыми по Лебегу. 
  • Они являются фундаментальными в теории множеств и используются в различных областях математики, включая теорию вероятностей и функциональный анализ. 
  • Борелевские множества образуют σ-алгебру, которая является наименьшей, содержащей все открытые множества. 

• Примеры и свойства

  • Множество рациональных чисел является борелевским, а множество иррациональных чисел — нет. 
  • Множество всех рациональных чисел, делящихся на каждое натуральное число, не является борелевским. 
  • Множество всех подмножеств вещественной прямой, измеримых по Лебегу, является борелевским. 
  • Борелевские множества замкнуты на счетные объединения и отображения, сохраняющие меру. 

• Иерархия Бореля и стандартные борелевские пространства

  • Иерархия Бореля представляет собой последовательность множеств, каждое из которых является счетным объединением предыдущих. 
  • Стандартное борелевское пространство — это пара (X, B), где X — топологическое пространство, а B — σ-алгебра борелевских множеств. 
  • Существуют измеримые пространства, которые не являются борелевскими, и каждое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума. 

• Неборелевские множества и альтернативные определения

  • Существуют неборелевские множества, такие как множество иррациональных чисел с уникальным представлением в виде бесконечной цепной дроби. 
  • Существуют альтернативные определения борелевских множеств, например, через компактные множества или открытые и компактные насыщенные множества. 

• Ссылки и внешние ресурсы

  • В статье приведены ссылки на литературу и внешние ресурсы, которые могут быть полезны для дальнейшего изучения темы.