Недоопределенная система
-
Определение недоопределенной системы уравнений
- Система уравнений с меньшим числом уравнений, чем неизвестных, считается недоопределенной.
- Каждое уравнение ограничивает одну степень свободы, а число уравнений и свободных переменных должно быть равно для критического случая.
-
Решения недоопределенных систем
- Недоопределенная система может не иметь решений или иметь бесконечное множество решений.
- Решения могут быть описаны через вычитание уравнений и ограничение на одну переменную.
- Теорема Руше-Капелли утверждает, что если ранг расширенной матрицы больше, чем ранг матрицы коэффициентов, то система является несовместимой.
- Если ранги равны, то система имеет по крайней мере одно решение, а общее решение имеет k свободных параметров.
-
Однородный случай
- Однородная недоопределенная система всегда имеет нетривиальные решения, образующие векторное пространство.
-
Недоопределенные полиномиальные системы
- Полиномиальные системы с меньшим числом уравнений, чем переменных, также являются недоопределенными.
- Система может иметь бесконечно много решений или быть противоречивой.
- Размерность множества решений равна n — t, где t — число уравнений.
-
Недоопределенные системы в задачах оптимизации
- В задачах оптимизации важно только одно решение, которое максимизирует или минимизирует целевую функцию.
- Целочисленное ограничение может привести к задачам целочисленного программирования с конечным числом решений.
- Ограничение на число переменных может быть связано с максимальным количеством ошибок, которые могут быть исправлены в кодах с исправлением ошибок.
-
Рекомендации
- Ссылки на другие темы, такие как чрезмерно детерминированные системы и регуляризация, также упоминаются в статье.
Полный текст статьи: