Оглавление
- 1 Обычный конус
- 1.1 Определение нормального конуса
- 1.2 Свойства нормального конуса
- 1.3 Размеры компонентов
- 1.4 Примеры
- 1.5 Геометрия нормального конуса
- 1.6 Деформация в направлении нормального конуса
- 1.7 Определение продуктов пересечения в разделочном кольце
- 1.8 Раздутие и деформация
- 1.9 Внутренний нормальный конус
- 1.10 Свойства внутреннего нормального конуса
- 1.11 Морфизмы стеков
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Нормальный конус
Обычный конус
-
Определение нормального конуса
- Нормальный конус CXY определяется как относительная спецификация Spec(⨁n=0∞I^n/I^n+1).
- Для регулярного вложения i нормальный конус является нормальным расслоением.
- Для точки X нормальный конус и нормальное расслоение называются касательным конусом и касательным пространством.
-
Свойства нормального конуса
- Композиции регулярных вложений сохраняют нормальные расслоения.
- Нормальные расслоения к диагональному вложению являются касательными расслоениями.
- Для декартова квадрата схем существует замкнутое встраивание нормального конуса.
-
Размеры компонентов
- Нормальный конус к замкнутой подсхеме имеет чистую размерность.
- Это свойство важно для теории пересечений.
-
Примеры
- Нормальный конус к эффективному представителю Cartier равен O(D).
- Для нерегулярного вложения X = Spec(C[x,y,z]/(xz,yz)) нормальный конус можно представить как относительный спектр.
-
Геометрия нормального конуса
- Нормальный конус может быть изучен через волокна в различных точках X.
- Для узловой кубической кривой нормальный конус имеет больше компонентов, чем схема.
-
Деформация в направлении нормального конуса
- Встраивание i может быть деформировано для встраивания X внутри нормального конуса.
- Эта конструкция аналогична дифференциальной топологии.
-
Определение продуктов пересечения в разделочном кольце
- Деформация в направлении нормального конуса заменяет вложения X и W на их нормальные конусы CY(X) и CW(V).
- Произведение пересечений X и CWV в CXY задается изоморфизмом Гайсина.
-
Раздутие и деформация
- Раздутие Y × P1 вдоль X × 0 дает M.
- Карта ρ: M → P1 является плоской, а я~: X × P1 ↪ M — морфизм над P1.
- M тривиально отличается от нуля, а ρ−1(0) — сумма CXY¯ + Y~.
-
Внутренний нормальный конус
- Внутренний нормальный пучок NX для стека Делиня–Мамфорда X — это стек частных h1/h0(LX, фппф∨).
- NX|U = [N_U/M/f∗TM], где f: U → M — локально закрытое погружение.
- Внутренний нормальный конус CX определяется заменой NU/M на C_U/M.
-
Свойства внутреннего нормального конуса
- CX|U = [C_U/M/f∗TM] для любого локально конечного типа U.
- CX = NX для локального полного пересечения X.
- CX = BTX для гладкого X, где BTX — классифицирующий стек касательного пучка TX.
-
Морфизмы стеков
- Для морфизма стеков X → Y, CX/Y ⊆ NX/Y.
- CX/Y|U = [C_U/M/T_M/Y|U] для любой карты уровня U → X.