Объединяющие теории в математике
-
Исторический контекст
- В 18 веке механика и математический анализ объединялись в один предмет.
- В 20 веке анализ, алгебра и геометрия стали самостоятельными дисциплинами.
-
Математические теории
- Термин «теория» обозначает самосогласованную совокупность определений, аксиом и теорем.
- В математике нет гипотетических теорий, таких как Протомир в лингвистике.
-
Геометрические теории
- Аналитическая геометрия показала, что многие теоремы могут быть сформулированы на алгебраическом языке.
- В 1859 году Артур Кейли инициировал унификацию метрической геометрии.
- Феликс Кляйн использовал метрики для создания неевклидовой геометрии.
-
Аксиоматизация
- В начале 20 века многие разделы математики начали трактоваться через аксиомы.
- Теория множеств стала основным языком общения в математике.
-
Бурбаки и теория категорий
- Группа математиков Бурбаки разработала аксиоматику.
- Теория категорий является альтернативой теории множеств.
-
Объединяющие теории
- Аналитическая геометрия и алгебраическая геометрия разрабатывают связи между геометрическими и алгебраическими объектами.
- Фундаментальная теорема теории Галуа устанавливает соответствие между расширениями поля и подгруппами группы Галуа.
- Гипотеза Таниямы–Шимуры устанавливает соответствие между модульными формами и эллиптическими кривыми.
-
Современные разработки
- Гипотеза Таниямы–Шимуры предполагает, что каждая эллиптическая кривая может быть преобразована в модульную форму.
- Программа Лэнглендса ищет конструкции, из которых логически вытекают результаты теории чисел и представлений групп.
-
Гипотеза Таниямы-Шимуры
- Гипотеза о рациональных факторах эллиптических кривых была доказана Шимурой в 1964 году
- Гипотеза существовала десятилетиями до общего доказательства
-
Программа Лэнглендса
- Программа Лэнглендса постулирует, что общая теория автоморфных форм регулируется L-группами
- Принцип функториальности Лэнглендса объясняет известные типы подъема автоморфных форм
- Теория Лэнглендса работает в противоположном направлении от гипотезы Таниямы-Шимуры
-
Связь с гипотезой Таниямы-Шимуры
- Теория Лэнглендса требует существования автоморфной формы, начиная с объекта из категории мотивов
- Подход Лэнглендса не включает исследования, связанные с Monster group
-
Гипотезы об изоморфизме в K-теории
- Гипотезы об изоморфизме охватывают широкий спектр математических дисциплин
- Гипотеза Баума-Конна является давней проблемой
- К гипотезам об изоморфизме относятся гипотеза Фаррелла-Джонса и гипотеза Боста