Оглавление
Обобщенная гипотеза Римана
-
Гипотеза Римана и её обобщения
- Гипотеза Римана утверждает о нулях дзета-функции Римана.
- Глобальные L-функции аналогичны дзета-функции Римана и могут быть связаны с различными геометрическими и арифметическими объектами.
- Обобщения гипотезы Римана включают расширенную гипотезу Римана (ERH) и обобщенную гипотезу Римана (GRH).
-
Обобщенная гипотеза Римана (GRH)
- Сформулирована Адольфом Пильцем в 1884 году.
- Утверждает, что для каждого символа Дирихле и комплексного числа s с L(θ, s) = 0, если s не отрицательное действительное число, то действительная часть s равна 1/2.
- Имеет последствия для распределения простых чисел и мультипликативных групп.
-
Последствия GRH
- Теорема Дирихле утверждает, что арифметическая прогрессия содержит бесконечно много простых чисел.
- Если GRH верна, то для каждого взаимно простого числа a и d, количество простых чисел в прогрессии меньше или равно x, где φ(x, a, d) = O(x).
- Каждая собственная подгруппа мультипликативной группы (Z/nZ)× опускает число, меньшее 2(ln n)2, и число, равное n, меньшее 3(ln n)2.
- Тест на первичность Миллера–Рабина и алгоритм Шанкса–Тонелли выполняются за полиномиальное время.
- Детерминированный алгоритм Иваньоса–Карпинского–Саксены также выполняется за полиномиальное время.
- Для каждого простого числа p существует примитивный корень mod p, меньший O((ln p)6).
- Слабая гипотеза Гольдбаха вытекает из GRH.
- Оценка суммы символов в неравенстве Поля–Виноградова может быть улучшена до O(q√log log q).
-
Расширенная гипотеза Римана (ERH)
- Определяется для числовых полей K с кольцом целых чисел OK.
- Утверждает, что для каждого комплексного числа s с zK(s) = 0, если действительная часть s находится между 0 и 1, то это 1/2.
- Обычная гипотеза Римана вытекает из ERH для числового поля Q с кольцом целых чисел Z.
- ERH подразумевает эффективную версию теоремы о плотности Чеботарева.