Обратный элемент

• Определение обратной полугруппы

  • Полугруппа с обратной операцией, где a°a = a для всех a. 
  • Обратная операция не обязательно должна быть ассоциативной. 

• Примеры и свойства

  • Примеры включают полугруппы с операциями умножения и сложения. 
  • В полугруппе с операцией умножения, a°a = a, a°b = b°a = b для всех a, b. 
  • В полугруппе с операцией сложения, a°a = a, a°b = a + b для всех a, b. 

• Обратимость и биективность

  • Функция f является обратимой тогда и только тогда, когда она биективна. 
  • Гомоморфизм алгебраических структур является обратимым тогда и только тогда, когда он биективен. 

• Обратные элементы и обратимость

  • Элемент a является обратным к b, если a°b = a. 
  • В полугруппе каждый элемент имеет по крайней мере один обратный. 
  • В моноиде каждый элемент имеет не более одного обратного. 

• Обобщения инверсии

  • В магме с ассоциативной операцией каждый элемент имеет не более одного обратного. 
  • В полугруппе S элемент x называется регулярным, если существует z такой, что xzx = x. 
  • В моноиде понятие инверсии строго уже, чем в полугруппе. 

• U-полугруппы и инволюции

  • U-полугруппа — это полугруппа с унарной операцией, удовлетворяющей определенным аксиомам. 
  • I-полугруппы и *-полугруппы являются важными классами U-полугрупп. 
  • *-регулярные полугруппы дают пример псевдообратимости, отличной от обратной Муру-Пенроузу. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.