Оглавление
- 1 Обратный элемент
- 1.1 Понятие обратного элемента
- 1.2 Обратимые элементы
- 1.3 Примеры и обобщения
- 1.4 Частичные операции
- 1.5 Ассоциативность и элементы идентичности
- 1.6 Обратные движения влево и вправо
- 1.7 Обратимые гомоморфизмы и изоморфизмы
- 1.8 Группы и моноиды
- 1.9 Кольца
- 1.10 Умножение и обратимость в кольцах
- 1.11 Матричное умножение
- 1.12 Функции, гомоморфизмы и морфизмы
- 1.13 Обобщения
- 1.14 Классы U-полугрупп
- 1.15 Полностью регулярные полугруппы
- 1.16 *-регулярные полугруппы
- 1.17 Полукольца
- 1.18 Обобщенные обратные значения матриц
- 1.19 Примеры обратных матриц
- 1.20 Дополнительные сведения
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Обратный элемент
Обратный элемент
-
Понятие обратного элемента
- Обобщает понятия противоположных и обратных чисел
- Левая и правая обратные величины определяются через операцию и элемент тождества
- Ассоциативная операция требует равенства левых и правых обратных величин
-
Обратимые элементы
- Обратимый элемент имеет левую и правую обратные величины
- В кольце обратимый элемент называется единицей
- В группах и моноидах обратимые элементы образуют группы и моноиды соответственно
-
Примеры и обобщения
- В теории категорий изоморфизм является обратимым морфизмом
- В теории категорий правые инверсии называются сечениями, левые инверсии — ретракциями
- В теории категорий обратимый морфизм называется изоморфизмом
-
Частичные операции
- Понятия обратного элемента и обратимой переменной распространяются на частичные операции
- Примеры: умножение матриц, композиция функций, композиция морфизмов
-
Ассоциативность и элементы идентичности
- Частичная операция ассоциативна, если для каждого x, y, z в X, для которого определен один из членов, другой член также определен
- Элемент идентификации e удовлетворяет e * e = e и e * y = y для всех x и y
-
Обратные движения влево и вправо
- Если x * y = e, где e — идентификационный элемент, x — левая обратная величина y, y — правая обратная величина x
- Обратные значения могут существовать не всегда, даже при полной и ассоциативной операции
-
Обратимые гомоморфизмы и изоморфизмы
- Обратимый гомоморфизм называется изоморфизмом
- В теории категорий обратимый морфизм также называется изоморфизмом
-
Группы и моноиды
- Группа — это набор с ассоциативной операцией и идентичным элементом, где каждый элемент имеет обратную операцию
- Моноид — это набор с ассоциативной операцией и элементом identity, обратимые элементы образуют группу
-
Кольца
- Кольцо — это алгебраическая структура с операциями сложения и умножения
- При сложении кольцо представляет собой абелеву группу, при умножении — моноид
- Обратимый элемент для умножения называется единицей, обратная величина единицы обозначается x^-1
-
Умножение и обратимость в кольцах
- Умножение в кольце коммутативно, если 0 не является единицей.
- В некоммутативном кольце необратимый элемент может иметь обратимые функции.
- Коммутативное кольцо можно расширить, добавив обратные значения к элементам, не являющимся делителями нуля.
-
Матричное умножение
- Матричное умножение определяется для матриц над полем и распространяется на кольца, ГСЧ и полукольца.
- Единичная матрица имеет все элементы на главной диагонали равными 1.
- Обратимая матрица имеет определитель, равный единице в кольце.
- В целочисленных матрицах обратимая матрица имеет обратную матрицу, которая также является целочисленной.
-
Функции, гомоморфизмы и морфизмы
- Композиция функций ассоциативна.
- Функция обратима, если она является биекцией.
- Обратимый гомоморфизм или морфизм называется изоморфизмом.
- Функция имеет левое обратное или правое обратное, если она инъективна или сюръективна соответственно.
-
Обобщения
- В единой магме элемент обратим, если он имеет двустороннюю инверсию.
- В полугруппе элемент обратим, если существует псевдообратный элемент.
- В U-полугруппе полугруппа наделена унарным операцией, которая может не быть обратной величиной.
-
Классы U-полугрупп
- I-полугруппы: аксиома взаимодействия aa°a = a
- *-полугруппы: аксиома взаимодействия (ab)° = b°a°
- Группа является как I-, так и *-полугруппой
-
Полностью регулярные полугруппы
- I-полугруппы с aa° = a°a
- Примеры: совершенно простые полугруппы
-
*-регулярные полугруппы
- Подкласс *-полугрупп с уникальной псевдообратимостью
- Инволюция a* не является псевдообратной
- Обобщенная обратная или обратная Мура–Пенроуза
-
Полукольца
- Примеры включают ассоциативные операторы
- Соединения Галуа: L и G квазиобратны, но не левые или правые противоположности
-
Обобщенные обратные значения матриц
- Квадратная матрица обратима, если определитель отличен от нуля
- Неквадратные матрицы полного ранга имеют односторонние обратные значения
- Левое обратное значение используется для решения задачи с наименьшей нормой
-
Примеры обратных матриц
- Правильная обратная: Aправо−1 = AT(AAT)−1
- Левого обратного не существует для сингулярных матриц
-
Дополнительные сведения
- Разделительное кольцо
- Собственность на латинскую площадь
- Цикл (алгебра)
- Единица измерения (теория колец)