Оглавление
Обратный предел
-
Определение обратного предела
- Обратный предел позволяет “склеить” несколько связанных объектов.
- Обратный предел определяется морфизмами между объектами.
- Обратный предел существует в любой категории, но его существование зависит от категории.
-
Формальное определение
- Обратная система групп и морфизмов определяется как пара (A, fij), где A – семейство групп, а fij – морфизмы.
- Обратный предел определяется как подгруппа прямого произведения A с естественными проекциями.
- Обратный предел удовлетворяет универсальному свойству.
-
Общее определение
- Обратный предел может быть определен в произвольной категории через универсальное свойство.
- Обратный предел обозначается как lim← с каноническими проекциями.
- В некоторых категориях обратный предел может не существовать, но если он существует, то уникален.
-
Примеры
- Кольцо p-адических целых чисел является обратным пределом колец Z/pnZ.
- p-адический соленоид является обратным пределом топологических групп R/pnZ.
- Кольцо R[[t]] формальных степенных рядов является обратным пределом колец R[t]/tnR[t].
- Проконечные группы определяются как обратные пределы конечных групп.
-
Производные функторы
- Обратный предельный функтор остается точным для абелевых категорий.
- Условие Миттага-Леффлера обеспечивает точность lim← для абелевых групп.
- Эйленберг сконструировал функтор lim1, который обеспечивает точность для коротких точных последовательностей.
-
Дальнейшие результаты
- В более общем плане, для абелевых категорий с достаточным количеством инъективов, могут быть определены правильные производные функторы.
- Ян-Эрик Роос обобщил lim1 на ряд функторов limn.
- Амнон Ниман и Пьер Делинь построили пример, опровергающий результат Рооса.
- Барри Митчелл показал, что для I с мощностью ℵd, Rnlim равен нулю для всех n ≥ d + 2.
-
Диаграммы с индексом I в категории R-модулей
- Диаграммы с индексом I в категории R-модулей могут иметь limn, отличный от нуля при n > 1.
- Это не обязательно верно в произвольной абелевой категории.
-
Категориальный двойник обратного предела
- Прямой предел (или индуктивный предел) является категориальным двойником обратного предела.
- Более общие понятия включают пределы и коллимации теории категорий.
-
Терминология и записи
- Обратные ограничения – это класс ограничений.
- Прямые ограничения – это класс коллимитов.
- Ссылки на работы Джона Родса и Бенджамина Стейнберга.