Ортогональная матрица
-
Определение ортогонального массива
- Ортогональный массив — это таблица, записи которой состоят из фиксированного конечного набора символов.
- Для каждого выбранного из t столбцов таблицы все упорядоченные t-кортежи символов появляются одинаковое количество раз.
- Число t называется прочностью ортогонального массива.
-
Примеры ортогональных массивов
- Пример слева: ортогональный массив с набором символов {1,2} и степенью 2.
- Пример справа: ортогональный массив силой 3.
- Ортогональный массив смешанного уровня: каждый столбец может содержать разное количество символов.
-
Свойства ортогональных массивов
- Ортогональный массив прост, если не содержит повторяющихся строк.
- Ортогональный массив является линейным, если X является конечным полем Fq.
- Каждая линейная ортогональная матрица проста.
-
Терминология и обозначения
- Термины «симметричный» и «асимметричный» используются для обозначения фиксированного и смешанного уровней.
- Обозначение OA(N, k, v, t) иногда сокращается до OA(k, v).
- Обозначение OA(N, k, v, t) не включает индекс λ, но его можно восстановить из других параметров.
-
Примеры и тривиальные массивы
- Пример OA(16, 5, 4, 2) с силой 2 и индексом 1.
- Массив, состоящий из всех k-кортежей из v-множества, автоматически имеет силу k.
-
Взаимно ортогональные латинские квадраты
- OA(n2, 3, n, 2) эквивалентно латинскому квадрату порядка n.
- При k ≤ n+1 OA(n2, k, n, 2) эквивалентно набору из k − 2 взаимно ортогональных латинских квадратов порядка n.
-
Латинские квадраты, кубы и гиперкубы
- Латинский квадрат порядка n можно рассматривать как OA(n2, 3, n, 2).
- Латинский куб порядка n эквивалентен OA(n3, 4, n, 2).
- M-мерный латинский гиперкуб порядка n r-го класса имеет размер n × n × … ×n m-мерная матрица.
-
Определение ортогональных гиперкубов
- Два латинских гиперкуба одинакового порядка n и класса r называются ортогональными, если при наложении каждый элемент одного встречается ровно nm − 2r раз с каждым элементом другого.
- Набор из k − m взаимно ортогональных m-мерных латинских гиперкубов порядка n эквивалентен OA (nm, k, n, 2).
-
История и обобщения
- Понятия латинских квадратов и взаимно ортогональных латинских квадратов обобщены на латинские кубы и гиперкубы Кишеном (1942).
- Рао (1946) обобщил эти результаты на массивы прочностью t.
- Современное понятие ортогональной решетки принадлежит К. R. Рао (1947).
- Хедаят, Слоун и Стаффкен приписывают К. Бушу термин «ортогональная решетка».
-
Другие конструкции
- Матрицы Адамара: существует OA(4λ, 4λ − 1, 2, 2) тогда и только тогда, когда существует матрица Адамара порядка 4λ.
- Коды: ортогональное дополнение векторного подпространства C является OA(qn-m, n, q, d − 1), где λ = qn − m − d + 1.
-
Приложения
- Пороговые схемы: OA(vt, n+1, v, t) используется для построения идеальной (t, n) пороговой схемы.
- Факториальные конструкции: ортогональная матрица используется для разработки дробного факторного эксперимента.
- Контроль качества: ортогональные массивы сыграли центральную роль в разработке методов Тагучи.
- Тестирование: тестирование с использованием ортогональной матрицы эффективно при поиске ошибок в программных системах.
-
Смотрите также
- Комбинаторный дизайн
- Латинская выборка из гиперкуба
- Греко-латинские квадраты
- Записи
- Рекомендации
- Внешние ссылки
- Гипер-греко-латинские квадратные узоры
- Пример SAS с использованием PROC FACTEX
- Кухфелд, Уоррен Ф. «Ортогональные массивы»
- SAS предоставляет каталог из более чем 117 000 ортогональных массивов данных