Парная независимость
-
Определение попарной независимости
- Случайные величины X и Y независимы, если P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) для всех x и y.
- Если P(X = x, Y = y) ≠ P(X = x)P(Y = y), то X и Y зависимы.
-
Примеры попарной независимости
- Пример 1: X и Y — независимые броски монеты, Z = X ⊕ Y, где ⊕ — операция сложения по модулю 2.
- Пример 2: X и Y имеют одинаковые предельные и двумерные распределения, но не являются взаимно независимыми.
-
Вероятность объединения попарно независимых событий
- Существуют границы вероятности объединения случайных величин Бернулли, известные как границы Буля-Фреше.
- Куниас и Хантер-Уорсли предложили верхние границы, оптимизированные по различным параметрам.
- При попарной независимости граница Куниаса-Хантер-Уорсли является жесткой.
-
Сравнение с привязкой к союзу Буля-Фреше
- Парная независимость обеспечивает улучшение оценки вероятности объединения на 25% по сравнению с одномерной границей.
-
Обобщение на независимость от k
- k-образная независимость используется в теоретической информатике и криптографии для доказательства безопасности функций хэширования.