Первый неисчислимый порядковый номер

• Определение и свойства кардинальных чисел

  • Кардинальное число — это мощность множества. 
  • Существует бесконечное количество кардинальных чисел, начиная с нуля. 
  • Наименьшее кардинальное число — это ноль, а наибольшее — это мощность всего множества. 

• Порядковые номера и их связь с кардинальными числами

  • Порядковый номер — это число, которое указывает на порядок элементов в множестве. 
  • Порядковые номера могут быть использованы для определения мощности кардинальных чисел. 
  • Существует бесконечное количество порядковых номеров, начиная с нуля. 

• Примеры порядковых номеров

  • Первый порядковый номер — это ноль, второй — это единица, третий — это два и так далее. 
  • Порядковый номер каждого натурального числа является его порядковым номером. 
  • Порядковый номер каждого бесконечного множества натуральных чисел является его порядковым номером. 

• Мощность множества и порядковый номер

  • Мощность множества — это количество элементов в нем. 
  • Порядковый номер кардинального числа — это мощность соответствующего множества. 
  • Порядковый номер первого несчетного кардинального числа — это ω1. 

• Обобщение порядковых номеров

  • Для любого кардинального числа α существует порядковый номер ωα. 

• Доказательство существования ω1 без аксиомы выбора

  • ω1 может быть доказано без использования аксиомы выбора. 

• Топологические свойства ω1

  • ω1 может быть преобразовано в топологическое пространство. 
  • Пространство ω1 является компактным, но не метризуемым. 
  • Оно не является счетно компактным и не является Линделефовым. 

• Применение ω1 в топологии

  • ω1 используется для определения длинной линии и планки Тихонова. 

• Рекомендации

  • Ссылки на источники и библиографию приведены в статье.