Оглавление
Поднимаясь и опускаясь
-
Движение вверх и движение вниз
- Движение вверх: цепочка простых идеалов может быть расширена путем включения вверх.
- Движение вниз: цепочка простых идеалов может быть расширена путем включения вниз.
-
Теоремы Коэна–Зайденберга
- Доказаны Ирвином С. Коэном и Абрахамом Зайденбергом.
- Известны как теоремы о движении вверх и движении вниз.
-
Лежащий поверх и несравнимый
- p лежит под q, если q ∩ A является простым идеалом A.
- Расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству лежания поверх, если каждый простой идеал p лежит под главным идеалом q из B.
- Расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству несравнимости, если q и q’ различны и q ⊈ q’ и q’ ⊈ q.
-
Движение вверх
- Расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству нарастания, если цепочка простых идеалов B может быть расширена до цепочки простых идеалов A.
- Если расширение удовлетворяет свойству нарастания, оно также удовлетворяет свойству перекрытия.
-
Движение вниз
- Расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству понижения, если цепочка простых идеалов A может быть расширена до цепочки простых идеалов B.
- Если расширение удовлетворяет свойству понижения, оно также удовлетворяет свойству лежания поверх.
-
Обобщение на кольцевые морфизмы
- Кольцевой морфизм f : A → B удовлетворяет свойству возрастания, если свойство возрастания выполняется для f(A) в B.
- Кольцевой морфизм f : A → B удовлетворяет свойству убывания, если свойство убывания выполняется для f(A) в B.
-
Теоремы о движении вверх и движении вниз
- Если B является интегральным продолжением A, то расширение удовлетворяет свойству восходящего и несравнимости.
- Если B является интегральным продолжением A и областью, и A интегрально замкнута в своем поле дробей, то расширение удовлетворяет свойству нисходящего.
- Если A ∈ B является плоским продолжением коммутативных колец, то выполняется свойство нисходящего движения.