Оглавление
- 1 Высшие когомологии
- 1.1 История и мотивация
- 1.2 Основные понятия
- 1.3 Конечные группы когомологий
- 1.4 ℓ-адические группы когомологий
- 1.5 Θ-адический пучок
- 1.6 Когомологии неособых алгебраических кривых
- 1.7 Подгруппы кручения и ℓ-адические группы когомологий
- 1.8 Свойства ℓ-адических групп когомологий
- 1.9 Вычисление высотных групп когомологий для алгебраических кривых
- 1.10 Примеры групп конечных когомологий
- 1.11 Двойственность Пуанкаре и когомологии с компактной поддержкой
- 1.12 Карта трассировки и билинейная форма
- 1.13 Применение к кривым
- 1.14 Идея доказательства
- 1.15 Гипотеза Римана и мотивы
- 1.16 Рекомендации
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Показать когомологии – Arc.Ask3.Ru
Высшие когомологии
-
История и мотивация
- Этальные когомологии введены Гротендиком в 1960 году для доказательства гипотез Вейля.
- Гротендик использовал этальные когомологии для доказательства рациональной части гипотез Вейля и оставшейся гипотезы, аналога гипотезы Римана.
- Делинь доказал оставшуюся гипотезу с использованием ℓ-адических когомологий.
- Основная задача теории — объединение информации и доказательство общих результатов.
-
Основные понятия
- Этальные когомологии определяются как группы когомологий с конечными коэффициентами для алгебраических многообразий.
- Категория Et(X) — категория высотных морфизмов от схемы до X, аналог категории открытых подмножеств топологического пространства.
- Предварительный пучок — контравариантный функтор от Et(X) к множествам.
- Пучок — предварительный пучок, удовлетворяющий условию связки.
-
Конечные группы когомологий
- Конечные группы когомологий определяются как правые производные функторы функтора сечений.
- Сечения пучка можно представить как Hom(Z, F), где Z — пучок, возвращающий целые числа.
- Морфизм схем индуцирует отображение из вертикальных пучков, а его правые производные функторы обозначаются Rqf∗.
-
ℓ-адические группы когомологий
- В приложениях к алгебраической геометрии над конечным полем Fq с характеристикой p используются ℓ-адические группы когомологий.
- ℓ-адические группы когомологий определяются как обратный предел конечных групп когомологий с коэффициентами Z/ℓKZ.
- Когомологии не коммутируют с обратными пределами, поэтому ℓ-адические группы когомологий не являются когомологиями с коэффициентами в верхнем пучке zℓ.
-
Θ-адический пучок
- Θ-адический пучок — это обратная система вертикальных пучков Fi, где Fi — модуль над Z/θiz.
- Отображение из Fi+1 в Fi — сокращение по модулю Z/θiz.
-
Когомологии неособых алгебраических кривых
- H1 — свободный zℓ-модуль ранга 2g, двойной модулю Тейта якобиева многообразия V.
- Первое число Бетти для римановой поверхности рода g равно 2g.
- ℓ ≠ p необходимо для получения групп когомологий с характеристикой 0.
-
Подгруппы кручения и ℓ-адические группы когомологий
- Подгруппы кручения могут возникать в ℓ-адических группах когомологий.
- Для удаления подгрупп кручения необходимо определить qℓ.
- Эталонные когомологии с коэффициентами в qℓ отличаются от H(V, Zℓ) ⊗ Qℓ.
-
Свойства ℓ-адических групп когомологий
- ℓ-адические группы когомологий обладают свойствами, сходными с сингулярными группами когомологий.
- Они удовлетворяют форме двойственности Пуанкаре и формуле Кюннета.
- На них воздействуют группы Галуа, что делает их лучше сингулярных групп когомологий.
-
Вычисление высотных групп когомологий для алгебраических кривых
- Расчет H1(X, Gm) дает группу Пикара Pic(X).
- Для i ≥ 2 группы Hi(X, Gm) равны нулю.
- Для µn и n, взаимно простых с характеристикой поля, группы Hi(X, µn) равны нулю при i ≥ 1.
- Для Z/nZ группы hi(X, Z/nZ) имеют ранг 2g.
-
Примеры групп конечных когомологий
- Для спектров полей с абсолютной группой Галуа группы когомологий совпадают с групповыми когомологиями.
- Для комплексных многообразий конечные когомологии с конечными коэффициентами изоморфны сингулярным когомологиям.
- Для когерентных пучков конечные когомологии совпадают с когомологиями когерентного пучка Серра.
-
Двойственность Пуанкаре и когомологии с компактной поддержкой
- Этальные группы когомологий с компактной поддержкой определяются через открытое погружение X в Y.
- Группы Hcq(X, F) обращаются в нуль при q > 2n для пучков кручения.
- Для разделенных морфизмов конечного типа Rqf! преобразует конструктивные пучки на X в конструктивные пучки на S.
-
Карта трассировки и билинейная форма
- Карта трассировки и билинейная форма Tr(a ∪ b) идентифицируют группы когомологий.
- Это аналог двойственности Пуанкаре для конечных когомологий.
-
Применение к кривым
- Теория может быть применена к локальной дзета-функции алгебраической кривой.
- Теорема утверждает, что для кривых рода g, определенных над конечным полем Fp, число точек на кривой близко к числу точек проективной прямой.
-
Идея доказательства
- Теорема Лефшеца о неподвижной точке применима к высотным когомологиям.
- Точки X фиксируются с помощью автоморфизма Фробениуса.
- Числа Бетти в конечных когомологиях X дают общую форму теоремы.
-
Гипотеза Римана и мотивы
- Утверждение об абсолютных значениях ai является гипотезой Римана из гипотез Вейля.
- Формально [X] = [точка] + [линия] + [1-часть], где [1-часть] имеет √p точек.
-
Рекомендации
- Локально ациклический морфизм
- Теорема об абсолютной чистоте