Область знаний (математика)

• Определение и свойства полей

  • Поле — это алгебраическая структура, которая включает в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также имеет нуль и единицу. 
  • Поле является коммутативным кольцом с единицей, но не обязательно имеет мультипликативные обратные элементы. 
  • Поле может быть определено как множество, замкнутое относительно этих операций, и оно должно содержать все свои элементы. 

• Примеры полей

  • Поле рациональных чисел Q является примером поля, которое включает в себя все рациональные числа. 
  • Поле комплексных чисел C является примером поля, которое включает в себя все комплексные числа. 
  • Поле действительных чисел R является примером поля, которое включает в себя все действительные числа. 

• Теория Галуа

  • Теория Галуа описывает связь между разрешимостью полиномиальных уравнений и группами. 
  • Галуа разработал критерии для алгебраической разрешимости полиномиальных уравнений. 
  • Абель и Галуа внесли значительный вклад в теорию алгебраических чисел. 

• Построение полей

  • Поля могут быть построены из колец, таких как целые числа или поля рациональных чисел. 
  • Поле дробей Q(R) строится из дробей элементов кольца R. 
  • Поля вычетов Fp являются частными полями кольца Z, где p — простое число. 
  • Поля могут быть созданы внутри более крупных полей, например, поле комплексных чисел C может быть создано внутри поля действительных чисел R. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.