Полностью метризуемое пространство
-
Определение полностью метризуемого пространства
- Полностью метризуемое пространство (X, T) — это топологическое пространство, для которого существует метрика d, такая что (X, d) является полным метрическим пространством и d индуцирует топологию T.
- Термин “топологически полное пространство” иногда используется как синоним полностью метризуемого пространства, но также может обозначать другие классы топологических пространств.
-
Различие между полным метрическим пространством и полностью метризуемым пространством
- Полностью метризуемое пространство допускает по крайней мере одну метрику, не совпадающую с заданной метрикой.
- Полное метрическое пространство — это подкатегория категории метрических пространств.
- Полная метризуемость — это топологическое свойство, полнота — это свойство метрики.
-
Примеры
- Пространство (0,1) ∈ R не является полным метрическим пространством, но полностью метризуемо.
- Пространство Q рациональных чисел метризуемо, но не полностью.
-
Свойства
- Топологическое пространство X полностью метризуемо тогда и только тогда, когда X метризуемо и Gδ в его компактификации Стоуна–Чеха βX.
- Подпространство полностью метризуемого пространства X полностью метризуемо тогда и только тогда, когда оно равно Gδ в X.
- Счетное произведение непустых метризуемых пространств полностью метризуемо тогда и только тогда, когда каждый фактор полностью метризуем.
- Для каждого метризуемого пространства существует полностью метризуемое пространство, содержащее его в виде плотного подпространства.
-
Полностью метризуемые абелевы топологические группы
- Для абелевых топологических групп и топологических векторных пространств метрика должна быть инвариантной относительно перемещений.
- Каждая абелева топологическая группа, полностью метризуемая как топологическое пространство, также допускает инвариантную полную метрику.
- Это подразумевает, что каждое полностью метризуемое топологическое векторное пространство является полным.