Оглавление
- 1 Полярная топология
- 1.1 Полярная топология и спаривания
- 1.2 Полярные множества и полярные топологии
- 1.3 Слабая ограниченность и поглощающие поляры
- 1.4 Двойные определения и результаты
- 1.5 Полярные топологии на Y
- 1.6 Объединение множеств и скалярные числа
- 1.7 Топология Хаусдорфа
- 1.8 Свойства полярных топологий
- 1.9 Примеры полярных топологий
- 1.10 Двойственные пары и топологии
- 1.11 Полярные топологии
- 1.12 Слабая/weak* топология σ(X’, X)
- 1.13 Компактно-выпуклая сходимость γ(X’, X)
- 1.14 Компактная сходимость c(X’, X)
- 1.15 Прекомпактная конвергенция
- 1.16 Топология Макки τ(X’, X)
- 1.17 Сильная двойная топология b(X’, X)
- 1.18 Топологии на пространствах линейных отображений
- 1.19 Полярные топологии
- 1.20 Замыкание равнопрерывного подмножества
- 1.21 Топология TVS
- 1.22 Двойная топология
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Полярная топология
Полярная топология
-
Полярная топология и спаривания
- Полярная топология определяется через полярные множества и билинейные карты.
- Спаривание — это тройка векторных пространств и билинейная карта.
- Двойная пара — это спаривание, удовлетворяющее аксиомам разделения.
-
Полярные множества и полярные топологии
- Полярный полюс подмножества — это выпуклое сбалансированное множество, содержащее начало координат.
- Биполярное расстройство — это выпуклое сбалансированное множество, содержащее начало координат, полученное из полярного полюса.
- Слабая топология на X, вызванная Y, — это топология, создающая все карты, непрерывные на Y.
- Слабая топология на Y, вызванная X, — это топология, создающая все карты, непрерывные на X.
-
Слабая ограниченность и поглощающие поляры
- Слабая ограниченность подмножеств X означает, что они являются ограниченными подмножествами слабой топологии на X.
- Поглощающие поляры — это выпуклые и сбалансированные множества, поглощающие в Y.
-
Двойные определения и результаты
- Каждое определение пары (X, Y, b) имеет двойственное определение для сопряжения (Y, X, b^).
- Полярные топологии на Y определяются через полярные множества на X.
-
Полярные топологии на Y
- Полярная топология на Y определяется через полярные множества на X и билинейную карту.
- Полярная топология на Y является локально выпуклой топологией.
- Полярная топология на Y не изменяется при замене G на различные подмножества X.
-
Объединение множеств и скалярные числа
- Объединение множеств A и B содержится в некотором наборе C.
- Все скалярные числа, кратные каждому G, принадлежат G.
-
Топология Хаусдорфа
- Если каждый x принадлежит некоторому G, то G-топология Хаусдорфова.
- Сеть (y_i) сходится к 0 в G-топологии тогда и только тогда, когда для каждого G, p_G(y_i) → 0.
- Фильтр F сходится к y в G-топологии, если F равномерно сходится к y на каждом G.
-
Свойства полярных топологий
- Если G покрывает X, то G-топология на Y Хаусдорфова.
- Если X различает точки Y и ⋃G_G σ(X,Y,b)-плотно в X, то G-топология на Y Хаусдорфова.
- Если (X,Y,b) является двойной системой, то G-топология на Y Хаусдорфова тогда и только тогда, когда ⋃G_G плотно в (X, σ(X,Y,b)).
-
Примеры полярных топологий
- Слабая топология σ(Y, X) является самой грубой топологией TVS на Y.
- Топология Макки τ(Y, X) является самой точной локально выпуклой топологией на Y.
- Сильная топология θ(Y, X) является более тонкой, чем топология Макки.
-
Двойственные пары и топологии
- Если X является Хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то X’ разделяет точки X и образует двойственную пару.
- Каноническая карта X в (X’G)’ является инъекцией, если X’ разделяет точки на X.
- Перенос u является непрерывным, если X’ несет в себе σ(X’,X) топологию.
-
Полярные топологии
- Через X над полем K будет висеть телевизор K с непрерывным двойным пространством X’.
- Замкнутое подмножество полного TVS является полным, а полное подмножество хаусдорфова и полного TVS является замкнутым.
- Компактные подмножества являются полными, а сбалансированная оболочка компактного подмножества снова компактна.
-
Слабая/weak* топология σ(X’, X)
- σ(X’,X)-замыкание выпуклой сбалансированной оболочки равнопрерывного подмножества X’ является равнопрорывным и σ(X’,X)-компактным.
- Теорема Банаха: u сюръективен тогда и только тогда, когда транспонирование u: Y’→X’ взаимно однозначно и образ t u слабо замкнут в X’σ(X’,X).
- X’σ(X’,X) является нормируемым тогда и только тогда, когда X конечномерно.
-
Компактно-выпуклая сходимость γ(X’, X)
- Если X является пространством Фреше, то γ(X’,X)=c(X’,X).
-
Компактная сходимость c(X’, X)
- Если X является метризуемым топологическим векторным пространством, то c(X’,X) является завершенным.
- Если пересечение W’ с каждым равнопрерывным подмножеством X’ слабо открыто, то W’ открыто в c(X’,X).
-
Прекомпактная конвергенция
- Теорема Банаха–Алаоглу: равнопрерывное подмножество K ⊆ X’ обладает компактным замыканием в топологии равномерной сходимости на предкомпактных множествах.
-
Топология Макки τ(X’, X)
- Позволяя G быть множеством всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств X, X’ будет иметь топологию Макки на X’ или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных множествах.
-
Сильная двойная топология b(X’, X)
- b(X’,X) обладает следующими свойствами: если X локально выпуклая, то эта топология более тонкая, чем все другие G-топологии на X’ при рассмотрении только G-множеств, являющихся подмножествами X.
- Если X является борнологическим пространством, то X’b(X’,X) является завершенным.
- Если X является нормированным пространством, то сильная двойная топология на X’ может быть определена нормой ‖x’‖ := отхлебывать x ∈ X, ‖x‖ = 1 |⟨x’,x⟩|.
- Если X является LF-пространством, то X’b(X’,X) является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все Xk являются нормируемыми.
- X’b(X’,X) обладает свойством Гейне–Бореля.
- На ограниченных подмножествах X’b(X’,X), сильная и слабая топологии совпадают.
- Каждая слабо сходящаяся последовательность в X’ сильно конвергентна.
-
Топологии на пространствах линейных отображений
- Топология Макки τ(X, X’)
- Топологии, совместимые с двойственностью
-
Полярные топологии
- Слабая топология θ(X, X’)
- Сходимость на равнопрерывных множествах Θ(X, X’)
-
Замыкание равнопрерывного подмножества
- Слабо-* компактность и равнопрерывность
- Выпуклая сбалансированная оболочка равнопрерывного подмножества равнопрерывна
-
Топология TVS
- Топология TVS определяется открытыми окрестностями начала координат
- Равномерная сходимость по набору равнопрерывных подмножеств
-
Двойная топология
- Теорема Макки–Аренса