Поточечная конвергенция

• Определение поточечной сходимости

  • Поточечная сходимость — это сходимость последовательности функций к предельной функции в каждой точке. 
  • Поточечная сходимость отличается от равномерной сходимости, которая требует сходимости на всем множестве. 

• Примеры поточечной сходимости

  • Последовательность функций 
  • f 
  • n 
  • ( 
  • x 
  • ) 
  • = 
  • {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}} 
  • сходится поточечно к 
  • 0 
  • {\displaystyle 0} 
  • на интервале 
  • [ 
  • , 
  • 1 
  • ] 
  • {\displaystyle [0,1],} 
  • но не равномерно. 
  • Поточечный предел может быть прерывистым, как в примере с функцией 
  • lim 
  • → 
  • ∞ 
  • cos 
  • ⁡ 
  • π 
  • 2 
  • {\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}} 
  • . 

• Топология поточечной сходимости

  • Поточечная сходимость индуцирует топологию на множестве функций из одного множества в другое. 
  • Эта топология совпадает с топологией продукта в пространстве функций. 
  • Если кодовый домен компактен, то пространство функций также компактно. 

• Почти повсеместная сходимость

  • Поточечная сходимость почти везде означает сходимость в подмножестве с нулевой мерой. 
  • Теорема Егорова утверждает, что почти повсеместная поточечная сходимость на множестве конечной меры влечет за собой равномерную сходимость на меньшем множестве. 
  • Поточечная сходимость почти везде не определяет структуру топологии в пространстве функций в пространстве мер.