Оглавление
- 1 Правильный морфизм
- 1.1 Определение правильного морфизма
- 1.2 Свойства правильных морфизмов
- 1.3 Примеры правильных морфизмов
- 1.4 Теоремы и леммы
- 1.5 Оценочный критерий правильности
- 1.6 Геометрическая интерпретация
- 1.7 Пример встречного примера
- 1.8 Оценочный критерий правильности
- 1.9 Геометрическая интерпретация с кривыми
- 1.10 Правильный морфизм формальных схем
- 1.11 Рекомендации
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Правильный морфизм
Правильный морфизм
-
Определение правильного морфизма
- Правильный морфизм между схемами аналогичен правильному отображению между сложными аналитическими пространствами.
- Правильное многообразие над полем k называется полным.
- Проективные многообразия над k являются правильными.
-
Свойства правильных морфизмов
- Правильные морфизмы универсально замкнуты.
- Правильные морфизмы конечны тогда и только тогда, когда они квазиконечны.
- Правильные морфизмы локально замкнуты.
-
Примеры правильных морфизмов
- Проективные морфизмы являются правильными.
- Аффинные многообразия положительной размерности над k не являются правильными.
- Правильные аффинные морфизмы должны быть конечными.
-
Теоремы и леммы
- Правильные морфизмы сохраняют когерентные пучки.
- Правильные морфизмы между локально нетеровыми схемами сохраняют когерентные аналитические пучки.
- Правильные морфизмы между квазикомпактными и квазиразделенными схемами действуют как открытое погружение.
-
Оценочный критерий правильности
- Правильный морфизм f: X → Y тогда и только тогда, когда для всех дискретных колец оценивания R и любой K-значной точки x ∈ X(K) существует уникальный подъем x к x¯ ∈ X(R).
- Правильность морфизма f: X → Y эквивалентна уникальности подъема x¯ для всех K-значных точек x ∈ X(K).
-
Геометрическая интерпретация
- Спекуляция (C[[t]]) как бесконечно малый диск.
- Оценочный критерий правильности: заполнение пункта 0 ∈ Δ в образе Δ∗.
-
Пример встречного примера
- X = P1 − {x} и Y = Спекуляция (C).
- Морфизм Спекуляция (C((t))) → X факторизуется через аффинную диаграмму.
-
Оценочный критерий правильности
- Диаграмма коммутативных алгебр: C((t)) → C[t,t-1] → C[[t]] → C
- Поднятие диаграммы схем: Spec(C[[t]]) → Spec(C[t,t-1])
- Морфизм C[t,t-1] → C[[t]] невозможен, следовательно, X не является надлежащим более Y
-
Геометрическая интерпретация с кривыми
- Диаграмма: C-\{p} → X → C → Y
- Поднятие: C → X
- Каждая кривая на схеме X может быть доведена до компактной кривой
- Локальная проблема заменяется рассмотрением локального кольца O_C,p и его дробного поля Frac(OC,p)
- Коммутативная диаграмма: Spec(Frac(OC,p)) → X → Spec(OC,p) → Y
-
Правильный морфизм формальных схем
- Морфизм f: X → S называется правильным, если f является адическим и индуцированное отображение f0: X0 → S0 правильно
- Пример: g: Y → Z, Z0 замкнуто, Y0 замкнуто, g(Y0) ∈ Z0, g^: Y/Y0 → Z/Z0 правильно
- Теорема Гротендика: если f правильный, то R^if_BOS_*F последовательны
-
Рекомендации
- SGA1 “Обзоры уровней и фундаментальной группы”, 1960-1961
- Конспекты лекций по математике 224, 1971
- Раздел 5.3 (определение правильности), раздел 7.3 (оценочный критерий правильности), раздел 15.7 (обобщение оценочных критериев на не обязательно нетеровы схемы)