Предел функции
-
Определение предела функции
- Предел функции f(x) при x стремящемся к p равен L, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x из некоторой окрестности точки p выполняется неравенство |f(x) — L| < ε.
- Предел может быть определен как односторонний предел, когда x приближается к p с одной стороны, или как предел в предельной точке множества, если p является предельной точкой подмножества множества S.
- Определение предела не зависит от способа определения функции f в точке p, что называется удаленным пределом.
- Не удаляемый предел зависит от значения функции в точке p, если p является частью области определения функции.
-
Примеры и ограничения
- Пример: предел функции f(x) = x^2 при x стремящемся к 0 равен 0, так как для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что для всех x из окрестности точки 0 выполняется неравенство |x^2 — 0| < ε.
- Пример: предел функции f(x) = 1/x при x стремящемся к 0 не существует, так как для любого ε > 0 не существует δ > 0, такого что для всех x из окрестности точки 0 выполняется неравенство |1/x — 0| < ε.
- Пример: предел функции f(x) = sin(x) при x стремящемся к 0 равен 0, так как для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что для всех x из окрестности точки 0 выполняется неравенство |sin(x) — 0| < ε.
- Пример: предел функции f(x) = x^2 при x стремящемся к 1 равен 1, так как для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что для всех x из окрестности точки 1 выполняется неравенство |x^2 — 1| < ε.
- Пример: предел функции f(x) = x^2 при x стремящемся к 2 не существует, так как для любого ε > 0 не существует δ > 0, такого что для всех x из окрестности точки 2 выполняется неравенство |x^2 — 2| < ε.
- Пример: предел функции f(x) = x^2 при x стремящемся к 1/2 не существует, так как для любого ε > 0 не существует δ > 0, такого что для всех x из окрестности точки 1/2 выполняется неравенство |x^2 — (1/2)^2| < ε.
- Пример: предел функции f(x) = x^2 при x стремящемся к 3/2 не существует, так как для любого ε > 0 не существует δ > 0, такого что для всех x из окрестности точки 3/2 выполняется неравенство |x^2 — (3/2)^2| < ε.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: