Оглавление
- 1 Предел последовательности
- 1.1 Предел последовательности
- 1.2 История пределов
- 1.3 Действительные числа
- 1.4 Свойства пределов
- 1.5 Бесконечные пределы
- 1.6 Метрические пространства
- 1.7 Последовательности Коши
- 1.8 Понятие последовательности Коши
- 1.9 Топологические пространства
- 1.10 Гиперреальные числа
- 1.11 Последовательность с более чем одним индексом
- 1.12 Бесконечные пределы
- 1.13 Точечные и однородные пределы
- 1.14 Повторяющийся предел
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Предел последовательности
Предел последовательности
-
Предел последовательности
- Предел последовательности — это значение, к которому стремятся члены последовательности.
- Предел обозначается символом lim.
- Последовательность называется сходящейся, если предел конечен, и расходящейся, если предел не существует.
-
История пределов
- Греческий философ Зенон Элейский сформулировал парадоксы, связанные с пределами.
- Архимед разработал метод исчерпания для определения площадей и объемов.
- Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела геометрического ряда.
- Пьетро Менголи предвосхитил современную идею предела последовательности.
- Ньютон рассматривал ряды в своих работах, включая биномиальное разложение.
- Лагранж и Гаусс внесли вклад в развитие математического анализа.
-
Действительные числа
- Предел последовательности в действительных числах — это число, к которому стремятся члены последовательности.
- Примеры: последовательность 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, … сходится к 1/3.
- Нахождение предела не всегда очевидно, например, предел (1+1/n)^n равен e.
-
Свойства пределов
- Предел последовательности уникален.
- Пределы хорошо работают с арифметическими операциями.
- Непрерывные функции сохраняют пределы последовательностей.
- Теорема о сжатии и монотонной сходимости помогают доказать пределы.
-
Бесконечные пределы
- Последовательность стремится к бесконечности, если выполняется определенное условие.
- Аналогично, последовательность стремится к минус бесконечности.
- Расходящаяся последовательность может стремиться к бесконечности или минус бесконечности.
-
Метрические пространства
- Предел последовательности в метрическом пространстве — это точка, к которой стремятся члены последовательности.
- Свойства пределов в метрических пространствах аналогичны свойствам пределов в действительных числах.
-
Последовательности Коши
- Последовательность Коши — это последовательность, члены которой становятся сколь угодно близкими друг к другу после отбрасывания начальных членов.
-
Понятие последовательности Коши
- Последовательность Коши сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью действительных чисел.
- Это верно и в других полных метрических пространствах.
-
Топологические пространства
- Предел последовательности точек в топологическом пространстве является частным случаем ограничения функции.
- В хаусдорфовых пространствах пределы уникальны, в негаусдорфовых — нет.
-
Гиперреальные числа
- Предел с использованием гиперреальных чисел формализует интуитивное предположение о близости членов последовательности к пределу.
- Предел существует, если правая часть не зависит от выбора бесконечного гипернатурального числа.
-
Последовательность с более чем одним индексом
- Двойная последовательность имеет предел, если она становится все ближе к нему при увеличении обоих индексов.
- Двойной предел отличается от итерационного предела, который сначала берется по n, а затем по m.
-
Бесконечные пределы
- Последовательность стремится к бесконечности, если выполняется определенное условие.
- Последовательность стремится к минус бесконечности, если выполняется другое условие.
-
Точечные и однородные пределы
- Для двойной последовательности можно взять ограничение по одному из индексов, что дает поточечный предел.
- Равномерный предел является более сильным свойством, чем поточечный, и подразумевает его существование.
-
Повторяющийся предел
- Для двойной последовательности можно взять ограничение сначала по n, затем по m, что дает итерационный предел.
- Порядок определения лимитов может повлиять на результат.