Проекционный модуль

• Определение и свойства проективных модулей

  • Проективный модуль — это модуль, который имеет проективное покрытие. 
  • Проективные модули обладают свойствами, аналогичными векторным расслоениям. 
  • Проективные модули над коммутативными кольцами имеют приятные свойства, такие как локальная свобода и локальное изоморфизм. 

• Примеры и контрпримеры

  • Примеры включают Z / n, который не является проективным, но имеет проективное покрытие. 
  • Существуют примеры конечно порожденных модулей, которые локально свободны, но не проективны. 
  • В нетеровых кольцах существуют конечно порожденные модули, которые локально свободны, но не проективны. 

• Проективные разрешения и размерность

  • Проективные модули имеют проективные разрешения, которые могут быть сокращены до P(M) → M → 0 или P → M → 0. 
  • Проективная размерность модуля — это минимальная длина конечного проективного разрешения. 
  • Существуют модули с нулевой проективной размерностью, которые являются проективными. 

• Проективные модули над коммутативными кольцами

  • Проективные модули над коммутативными кольцами обладают локальными свойствами, такими как локальная свобода и локальный изоморфизм. 
  • Существует связь между проективными модулями и векторными расслоениями. 
  • Теорема Квиллена-Суслина утверждает, что каждый проективный модуль над кольцом многочленов над полем или главной идеальной областью свободен. 

• Рекомендации и дальнейшее чтение

  • Ссылки на литературу включают книги Бурбаки, Пассмана и Рибенбойма, а также статью Вайбеля.