Оглавление
- 1 Прямой лимит
- 1.1 Определение прямых пределов
- 1.2 Прямые пределы алгебраических объектов
- 1.3 Прямые пределы в произвольной категории
- 1.4 Примеры прямых пределов
- 1.5 Свойства прямых пределов
- 1.6 Связанные конструкции и обобщения
- 1.7 Направленные ограничения и отфильтрованные ограничения
- 1.8 Прямые системы и ind-объекты
- 1.9 Обратные пределы
- 1.10 Терминология
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Прямой лимит
Прямой лимит
-
Определение прямых пределов
- Прямые пределы строятся из множества объектов, объединенных системой гомоморфизмов.
- Обозначаются как lim→Aя, где Aя — объекты, а я — индексы.
- Предел зависит от системы гомоморфизмов, но подавляет её.
-
Прямые пределы алгебраических объектов
- Объекты — базовые множества с заданной алгебраической структурой.
- Гомоморфизмы — групповые гомоморфизмы и т.д.
- Прямая система — пара (Aя, fяj), где Aя — семейство объектов, а fяj — гомоморфизмы.
- Прямой предел — непересекающееся объединение Aя по модулю отношения эквивалентности.
-
Прямые пределы в произвольной категории
- Прямой предел определяется через универсальное свойство.
- Цель — пара (X, ϕя), где X — объект, а ϕя — морфизмы.
- Прямой предел — универсальная отталкивающая мишень, для которой существует уникальный морфизм.
-
Примеры прямых пределов
- Объединение подмножеств множества.
- Слабая топология непрерывного комплекса.
- Общая линейная группа GL(K).
- Группа Prüfer Z(p∞).
- Кольцо симметричных функций.
- Линия F в точке x.
-
Свойства прямых пределов
- Прямые пределы связаны с обратными пределами.
- Принятие прямых пределов в категории модулей является точным функтором.
-
Связанные конструкции и обобщения
- Прямая система в категории C может быть описана через функторы.
- Колимит ковариантного функтора совпадает с прямым пределом.
- Отфильтрованные пределы — понятие, тесно связанное с прямыми ограничениями.
-
Направленные ограничения и отфильтрованные ограничения
- Категория имеет все направленные ограничения тогда и только тогда, когда у нее есть все отфильтрованные ограничения.
- Функтор, определенный для такой категории, коммутирует со всеми прямыми ограничениями тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми отфильтрованными ограничениями.
-
Прямые системы и ind-объекты
- В произвольной категории C могут существовать прямые системы, не имеющие прямого ограничения в C.
- В этом случае можно внедрить C в категорию Ind(C), где существуют все прямые ограничения.
- Объекты Ind(C) называются ind-объектами C.
-
Обратные пределы
- Категориальный дуал прямого предела называется обратным пределом.
- Обратные пределы можно рассматривать как пределы определенных функторов.
- Они тесно связаны с ограничениями для кофильтрованных категорий.
-
Терминология
- В литературе используются термины “направленный предел”, “прямой индуктивный предел”, “направленный колимит”, “прямой колимит” и “индуктивный предел” для обозначения прямого предела.
- Термин “индуктивный предел” неоднозначен, так как некоторые авторы используют его для обозначения общего понятия колимита.