Оглавление [Скрыть]
Псевдодополнение
-
Определение псевдодополнения
- Псевдодополнение элемента x в решетке L — это наибольший элемент x* такой, что x ∈ x* = 0.
- Решетка L называется псевдодополненной, если каждый элемент является псевдодополненным.
- Псевдодополненная решетка ограничена и имеет 1.
-
Свойства псевдодополнения
- Карта x ∈ x* антитонна, 0* = 1 и 1* = 0.
- Карта x ∈ x** замыкающая, x* = x***.
- (x∈y)* = x* ∈ y*, (x∈y)** = x** ∈ y**.
- Множество S(L) = {x** | x ∈ L} называется скелетом L.
- S(L) образует булеву алгебру с дополнением * и является ∧-подрешеткой L.
- В дистрибутивной p-алгебре S(L) — это множество дополняемых элементов L.
- Каждый элемент x со свойством x* = 0 называется плотным.
- D(L), множество всех плотных элементов, является фильтром в L.
- Дистрибутивная p-алгебра является булевой тогда и только тогда, когда D(L) = {1}.
-
Примеры псевдодополненных решеток
- Каждая конечная дистрибутивная решетка является псевдодополненной.
- Каждая алгебра Хейтинга является псевдодополненной.
- Топология на топологическом пространстве X является псевдодополненной решеткой.
-
Относительное псевдодополнение
- Относительное псевдодополнение a по отношению к b — это максимальный элемент c, такой что a∈c≤b.
- Решетка с псевдодополнением для каждых двух элементов называется импликативной решеткой.
- Импликативная решетка может не иметь минимального элемента, но если он существует, то псевдодополнение a* можно определить как a → 0.