Путь (топология)
-
Определение пути в топологическом пространстве
- Путь в топологическом пространстве X — это непрерывная функция от замкнутого интервала до X.
- Путь может быть определен как кривая, соединяющая две точки.
- Путь от x к y — это путь с начальной точкой x и конечной точкой y.
-
Гомотопия путей
- Гомотопия путей — это непрерывное деформирование пути при сохранении конечных точек.
- Гомотопические пути — это пути, связанные гомотопией.
- Гомотопический класс пути — это класс эквивалентности путей в топологическом пространстве.
-
Композиция путей
- Композиция путей определяется как путь, полученный при пересечении двух путей.
- Композиция путей не ассоциативна, но ассоциативна до гомотопии.
- Фундаментальная группа X, основанная на точке x0, определяется как группа гомотопических классов циклов, базирующихся на x0.
-
Фундаментальный группоид
- Топологическое пространство X порождает категорию, где объекты — точки X, а морфизмы — гомотопические классы путей.
- Фундаментальный группоид X — это категория, где морфизмы являются изоморфизмами.
- Фундаментальная группа, основанная на точке x0, является группой автоморфизмов точки x0 в X.