Генеральная линейная группа

Оглавление1 Общая линейная группа1.1 Общая линейная группа1.2 Специальная линейная группа1.3 Модульная группа1.4 Детерминанты и GL(n, F)1.5 GL(n, R) как группа […]

Общая линейная группа

  • Общая линейная группа

    • Набор обратимых матриц с операцией умножения  
    • Обратимые матрицы линейно независимы  
    • GL(n, F) — группа матриц с элементами из F  
    • GL(V) — группа автоморфизмов векторного пространства V  
  • Специальная линейная группа

    • Подгруппа GL(n, F) с определителем 1  
    • Важна в теории представлений групп  
  • Модульная группа

    • Частное от SL(2, Z)  
    • Не абелева при n ≥ 2  
  • Детерминанты и GL(n, F)

    • Матрица обратима, если определитель отличен от нуля  
    • GL(n, R) — группа матриц с единичным определителем  
    • GL(n, C) — комплексная группа Ли  
  • GL(n, R) как группа Ли

    • Вещественная группа Ли размерности n2  
    • GL+(n, R) — группа Ли с положительным определителем  
    • GL(n, R) некомпактна, максимальная компактная подгруппа — O(n)  
  • GL(n, C) как группа Ли

    • Комплексная группа Ли размерности n2  
    • Связная группа, максимальная компактная подгруппа — U(n)  
  • GL(n, q) над конечными полями

    • Внешняя группа автоморфизмов Zpn  
    • Порядок равен [n]q!(q-1)^n q^(n/2)  
    • GL(3, 2) — группа автоморфизмов плоскости Фано и Z23  
  • Подсчет точек грассманиана

    • Количество подпространств заданной размерности k  
    • Связано с разложением грассманиана по Шуберту  
  • Общая линейная группа GL(n, q)

    • В пределе q ≈ 1 порядок GL(n, q) равен 0.  
    • При правильной процедуре (деление на (q − 1)n) порядок симметричной группы Sn ∈ GL(n, 1).  
  • История

    • Общая линейная группа над простым полем GL(ν, p) была построена Эваристом Галуа в 1832 году.  
  • Специальная линейная группа SL(n, F)

    • SL(n, F) — группа матриц с определителем 1.  
    • SL(n, F) — нормальная подгруппа GL(n, F).  
    • SL(n, F) изоморфна F× при n ≠ 2 или k ≠ 2.  
    • SL(n, R) — подгруппа Ли из GL(n, R) размерности n2 − 1.  
  • Другие подгруппы

    • Диагональные подгруппы GL(n, F) изоморфны (F×)n.  
    • Скалярные матрицы образуют подгруппу GL(n, F), изоморфную F×.  
    • Центр SL(n, F) изоморфен группе n-го корня из единицы в поле F.  
  • Классические группы

    • Ортогональная группа O(V) сохраняет невырожденную квадратичную форму.  
    • Симплектическая группа Sp(V) сохраняет симплектическую форму.  
    • Унитарная группа U(V) сохраняет невырожденную эрмитову форму при F = C.  
  • Связанные группы и моноиды

    • Проективная линейная группа PGL(n, F) и PSL(n, F) — частные от GL(n, F) и SL(n, F) по их центрам.  
    • Аффинная группа Aff(n, F) — расширение GL(n, F) с помощью группы переводов.  
    • Общая полулинейная группа ΓL(n, F) — группа обратимых полулинейных преобразований.  
  • Полный линейный моноид

    • Полный линейный моноид — алгебраическая структура, похожая на моноид.  
    • Это обычная полугруппа.  
  • Бесконечная общая линейная группа

    • Бесконечная общая линейная группа — прямой предел включений GL(n, F) → GL(n + 1, F).  
    • Используется в алгебраической K-теории для определения K1.  

Полный текст статьи:

Генеральная линейная группа

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх