Оглавление
- 1 Общая линейная группа
- 1.1 Общая линейная группа
- 1.2 Специальная линейная группа
- 1.3 Модульная группа
- 1.4 Детерминанты и GL(n, F)
- 1.5 GL(n, R) как группа Ли
- 1.6 GL(n, C) как группа Ли
- 1.7 GL(n, q) над конечными полями
- 1.8 Подсчет точек грассманиана
- 1.9 Общая линейная группа GL(n, q)
- 1.10 История
- 1.11 Специальная линейная группа SL(n, F)
- 1.12 Другие подгруппы
- 1.13 Классические группы
- 1.14 Связанные группы и моноиды
- 1.15 Полный линейный моноид
- 1.16 Бесконечная общая линейная группа
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Генеральная линейная группа
Общая линейная группа
-
Общая линейная группа
- Набор обратимых матриц с операцией умножения
- Обратимые матрицы линейно независимы
- GL(n, F) — группа матриц с элементами из F
- GL(V) — группа автоморфизмов векторного пространства V
-
Специальная линейная группа
- Подгруппа GL(n, F) с определителем 1
- Важна в теории представлений групп
-
Модульная группа
- Частное от SL(2, Z)
- Не абелева при n ≥ 2
-
Детерминанты и GL(n, F)
- Матрица обратима, если определитель отличен от нуля
- GL(n, R) — группа матриц с единичным определителем
- GL(n, C) — комплексная группа Ли
-
GL(n, R) как группа Ли
- Вещественная группа Ли размерности n2
- GL+(n, R) — группа Ли с положительным определителем
- GL(n, R) некомпактна, максимальная компактная подгруппа — O(n)
-
GL(n, C) как группа Ли
- Комплексная группа Ли размерности n2
- Связная группа, максимальная компактная подгруппа — U(n)
-
GL(n, q) над конечными полями
- Внешняя группа автоморфизмов Zpn
- Порядок равен [n]q!(q-1)^n q^(n/2)
- GL(3, 2) — группа автоморфизмов плоскости Фано и Z23
-
Подсчет точек грассманиана
- Количество подпространств заданной размерности k
- Связано с разложением грассманиана по Шуберту
-
Общая линейная группа GL(n, q)
- В пределе q ≈ 1 порядок GL(n, q) равен 0.
- При правильной процедуре (деление на (q − 1)n) порядок симметричной группы Sn ∈ GL(n, 1).
-
История
- Общая линейная группа над простым полем GL(ν, p) была построена Эваристом Галуа в 1832 году.
-
Специальная линейная группа SL(n, F)
- SL(n, F) — группа матриц с определителем 1.
- SL(n, F) — нормальная подгруппа GL(n, F).
- SL(n, F) изоморфна F× при n ≠ 2 или k ≠ 2.
- SL(n, R) — подгруппа Ли из GL(n, R) размерности n2 − 1.
-
Другие подгруппы
- Диагональные подгруппы GL(n, F) изоморфны (F×)n.
- Скалярные матрицы образуют подгруппу GL(n, F), изоморфную F×.
- Центр SL(n, F) изоморфен группе n-го корня из единицы в поле F.
-
Классические группы
- Ортогональная группа O(V) сохраняет невырожденную квадратичную форму.
- Симплектическая группа Sp(V) сохраняет симплектическую форму.
- Унитарная группа U(V) сохраняет невырожденную эрмитову форму при F = C.
-
Связанные группы и моноиды
- Проективная линейная группа PGL(n, F) и PSL(n, F) — частные от GL(n, F) и SL(n, F) по их центрам.
- Аффинная группа Aff(n, F) — расширение GL(n, F) с помощью группы переводов.
- Общая полулинейная группа ΓL(n, F) — группа обратимых полулинейных преобразований.
-
Полный линейный моноид
- Полный линейный моноид — алгебраическая структура, похожая на моноид.
- Это обычная полугруппа.
-
Бесконечная общая линейная группа
- Бесконечная общая линейная группа — прямой предел включений GL(n, F) → GL(n + 1, F).
- Используется в алгебраической K-теории для определения K1.