Оглавление
Распараллеливаемый коллектор
-
Определение распараллеливаемости
- Дифференцируемое многообразие M размерности n называется распараллеливаемым, если существуют гладкие векторные поля {V1, …, Vn} на M, такие что в каждой точке p касательные векторы {V1(p), …, Vn(p)} образуют основу касательного пространства в p.
- Эквивалентно, касательное расслоение является тривиальным, что означает наличие глобального сечения главного расслоения линейных фреймов на M.
-
Примеры распараллеливаемых многообразий
- Окружность: V1 — единичное касательное векторное поле, направленное против часовой стрелки.
- Тор размерности n: можно выразить как декартово произведение окружностей.
- Группы Ли: базис для касательного пространства в единичном элементе может быть перемещен под действием группы перемещений G.
-
Классические задачи и результаты
- S0 тривиально распараллелима.
- S1 — окружность, распараллеливаема.
- S2 не распараллеливаема, что доказано теоремой о волосатом шаре.
- S3 распараллеливаема как группа Ли SU(2).
- S7 — единственная другая распараллеливаемая сфера, что доказано в 1958 году.
-
Алгебраические и топологические аспекты
- Распараллеливаемые сферы соответствуют элементам единичной нормы в нормированных алгебрах деления.
- Доказать, что другие сферы не распараллеливаемые, сложнее и требует алгебраической топологии.
- Произведение распараллеливаемых многообразий также распараллеливаемо.
- Каждое ориентируемое замкнутое трехмерное многообразие является распараллеливаемым.
-
Связанные понятия
- Обрамленное многообразие: вложенное многообразие с заданной тривиализацией нормального расслоения.
- π-многообразие: гладкое многообразие, нормальное расслоение которого тривиально при вложении в евклидово пространство большой размерности.
- Каждое распараллеливаемое многообразие является π-многообразием.