Расширение топологической группы
-
Определение топологических расширений
- Топологическое расширение — это короткая точная последовательность
- 0 → H → i X → π G → 0
- где H, X и G — топологические группы, i и π — непрерывные гомоморфизмы.
-
Классификация расширений
- Расширения эквивалентны, если существует топологический изоморфизм T: X → X’
- Расширения расщепляются, если существует непрерывный гомоморфизм R: X → H такой, что R ∘ i = idH
- Расширения разбиваются, если подгруппа i(H) является топологическим прямым слагаемым X
-
Примеры
- Расширение R → Z с естественным включением и проекцией
-
Расширения локально компактных абелевых групп
- Продолжение топологических абелевых групп — короткая точная последовательность
- где H, X и G — локально компактные абелевы группы, i и π — относительно открытые непрерывные гомоморфизмы
-
Расширения топологических абелевых групп единичным кругом
- Расширения вида 0 → T → i X → π G → 0, где T — единичная окружность, X и G — топологические абелевы группы
-
Класс S(T)
- Топологическая абелева группа G принадлежит S(T) тогда и только тогда, когда каждое расширение 0 → T → i X → π G → 0 расщепляется
- Каждая локально компактная абелева группа принадлежит S(T)
- Каждая локально предкомпактная абелева группа принадлежит S(T)
- Банахово пространство ℓ1 не принадлежит S(T)