Оглавление
- 1 Непрерывность равновесия
- 1.1 Равнопрерывность в математическом анализе
- 1.2 Равнодлинность между метрическими пространствами
- 1.3 Равнопрерывность в топологических пространствах
- 1.4 Примеры и контрпримеры
- 1.5 Равнопрерывные линейные отображения
- 1.6 Равнопрерывные линейные функционалы
- 1.7 Равнопрерывные линейные отображения
- 1.8 Свойства равнопрерывных линейных функционалов
- 1.9 Равнопрорывность и равномерная сходимость
- 1.10 Обобщения
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Равнонепрерывность – Arc.Ask3.Ru
Непрерывность равновесия
-
Равнопрерывность в математическом анализе
- Семейство функций называется равнопрерывным, если все функции непрерывны и имеют равные вариации в заданной окрестности.
- Равнопрерывность применима к счетным семействам и последовательностям функций.
- Теорема Асколи утверждает, что подмножество C(X) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, поточечно ограничено и равнопрерывно.
- Последовательность в C(X) равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равнопрерывно и поточечно сходится к функции.
-
Равнодлинность между метрическими пространствами
- Семейство F равнопрерывно в точке x0, если для каждого ε > 0 существует δ > 0, такое, что d(ƒ(x0), ƒ(x)) < ε для всех ƒ ∈ F и всех x, таких, что d(x0, x) < δ.
- Семейство F равномерно непрерывно, если для каждого ε > 0 существует δ > 0, такое, что d(ƒ(x1), ƒ(x2)) < ε для всех ƒ ∈ F и всех x1, x2 ∈ X, таких, что d(x1, x2) < δ.
-
Равнопрерывность в топологических пространствах
- Семейство F равнопрорывно в точке x, если для каждого ε > 0 x имеет окрестный поток, такой, что для всех y ∈ Ux и ƒ ∈ F.
- В компактном пространстве равномерная непрерывность и континуитет совпадают.
-
Примеры и контрпримеры
- Набор функций с общей постоянной Липшица является равнопрерывным.
- Последовательность функций fn(x) = arctan(nx) не является равнопрерывной.
-
Равнопрерывные линейные отображения
- Семейство линейных отображений H равнопрорывно в точке x, если для каждого района V о происхождении в Y существует соседство U о происхождении в X такое, что H(U) ⊆ V.
- H равнопрорывно тогда и только тогда, когда H(U) ⊆ V для всех U и V.
- H ограничено в Lσ(X;Y) тогда и только тогда, когда H равнопрорывно.
-
Равнопрерывные линейные функционалы
- Семейство H линейных функционалов на X равнопрорывно в точке x, если для каждого района V о происхождении в F существует соседство U о происхождении в X такое, что h(x+U) ⊆ h(x)+V для всех h ∈ H.
- H равнопрорывно тогда и только тогда, когда H содержится в полярной окрестности начала координат в X.
- H слабо* ограничено тогда и только тогда, когда H равнопрорывно.
-
Равнопрерывные линейные отображения
- Линейное отображение между банаховыми пространствами равно непрерывно, если оно ограничено поточечно.
- Результат обобщается на локально выпуклые и замкнутые пространства.
-
Свойства равнопрерывных линейных функционалов
- Слабое замыкание равнопрерывного подмножества слабо-* компактно.
- Локально выпуклый TVS замкнут тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество равнопрорывно.
-
Равнопрорывность и равномерная сходимость
- Подмножество C (X) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равнопрорывно.
- Последовательность в C (X) сходится равномерно, если она равнотонепрерывна и сходится поточечно на плотном подмножестве.
- Предел равнонапряженной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций в метрическом пространстве или локально компактном пространстве является непрерывным.
-
Обобщения
- Равнопрорывность в топологических пространствах требует сопоставления фильтров окрестностей.
- Однородности обобщают идею “r-близости” точек в метрических пространствах.
- Стохастическая равномерная непрерывность используется в контексте последовательностей функций случайных величин.