Оглавление
- 1 Отделяемый удлинитель
- 1.1 Разделяемые и неотделимые расширения
- 1.2 Примеры и свойства
- 1.3 Чисто неотделимые расширения
- 1.4 Неформальная дискуссия
- 1.5 Разделимые и неразделимые многочлены
- 1.6 Съемные элементы и съемные удлинители
- 1.7 Нормальные расширения и гомоморфизмы
- 1.8 Разделимые расширения внутри алгебраических расширений
- 1.9 Отделимость трансцендентных расширений
- 1.10 Дифференциальные критерии
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Сепарабельное расширение
Отделяемый удлинитель
-
Разделяемые и неотделимые расширения
- Разделяемое расширение: минимальный многочлен элемента над базовым полем не имеет повторяющихся корней.
- Неотделимое расширение: минимальный многочлен элемента над базовым полем имеет повторяющиеся корни.
-
Примеры и свойства
- Каждое алгебраическое расширение поля с нулевой характеристикой является разделяемым.
- Каждое алгебраическое расширение конечного поля является разделяемым.
- Фундаментальная теорема теории Галуа верна только для разделяемых расширений.
-
Чисто неотделимые расширения
- Чисто неотделимое расширение: минимальный многочлен элемента над базовым полем не является разделяемым.
- Пример: E = Fp(x) ⊇ Fp(x^p).
-
Неформальная дискуссия
- Многочлен не имеет четких корней, если он делится на квадрат многочлена положительной степени.
- Неприводимый многочлен может быть делимым на квадрат, если его формальная производная равна нулю.
-
Разделимые и неразделимые многочлены
- Неприводимый многочлен f из F[X] является разделимым, если он имеет различные корни в любом расширении F.
- Неприводимый многочлен f в F[X] неотделим, если характеристикой F является простое число p, и f(X) = g(Xp) для некоторого неприводимого многочлена g.
-
Съемные элементы и съемные удлинители
- Элемент α ∈ E является разделимым над F, если его минимальный многочлен разделим.
- Расширение E является отделимым, если оно генерируется разделяемыми элементами.
- Конечное расширение E отделимо, если оно генерируется разделяемыми элементами или является F-векторным пространством конечной размерности.
-
Нормальные расширения и гомоморфизмы
- Для любого нормального расширения K из F, содержащего E, существует ровно [E:F] гомоморфизмов полей E в K, которые фиксируют F.
- Эквивалентность 3. и 1. известна как теорема о примитивных элементах или теорема Артина о примитивных элементах.
-
Разделимые расширения внутри алгебраических расширений
- Разделяемое замыкание F в E равно S = {α ∈ E | α является отделимым от F}.
- Для каждого элемента x ∈ E ∖ S существует такое положительное целое число k, что xpk ∈ S, и E является чисто неотделимым продолжением S.
- Если E ⊇ F является конечным расширением, его степень [E : F] равна произведению степеней [S : F] и [E : S].
-
Отделимость трансцендентных расширений
- Проблемы с отделимостью могут возникнуть при работе с трансцендентными расширениями.
- Разделяющая трансцендентная основа расширения E ⊇ F является базисом трансцендентности T для E таким, что E является отделимым алгебраическим расширением F (T).
- Конечно порожденное расширение поля является отделимым тогда и только тогда, когда оно имеет разделяющий базис трансцендентности.
-
Дифференциальные критерии
- Отделимость может быть изучена с помощью производных.
- Обозначающий DerF(E,E) в E-векторном пространстве F-линейных производных от E равен нулю тогда и только тогда, когда E отделимо от F.
- Если E/F является алгебраическим расширением, то DerF(E,E) = 0 тогда и только тогда, когда E/F является отделимым.