Сетка (многогранник)

• Определение и применение многогранных сеток

  • Сетка многогранника — это расположение непересекающихся многоугольников на плоскости, соединенных ребрами. 
  • Сетки используются для создания физических моделей многогранников и изучения геометрии твердого тела. 

• История и терминология

  • Альбрехт Дюрер использовал сетки в своих работах, а в 1543 году Августин Хиршфогель ввел термин «сети». 

• Уникальность и существование сеток

  • Для каждого многогранника существует множество сеток, в зависимости от выбора соединяемых ребер. 
  • Сетка должна образовывать остовное дерево многогранника, но некоторые остовные деревья могут самоперекрываться. 
  • Сетка может складываться в различные выпуклые многогранники в зависимости от углов изгиба и выбора склеиваемых краев. 

• Гипотеза Дюрера и другие вопросы

  • Вопрос о том, имеет ли каждый выпуклый многогранник простую сетку, остается открытым. 
  • Существуют невыпуклые многогранники без сетки, и некоторые грани могут быть разделены так, чтобы образовать сетку. 
  • Мохаммад Гоми показал, что каждый выпуклый многогранник имеет сетку после аффинного преобразования. 

• Кратчайший путь и задача о пауке и мухе

  • Кратчайший путь на поверхности многогранника соответствует прямой линии на соответствующей сетке. 
  • Сетка должна содержать путь, и может потребоваться рассмотреть несколько сеток для определения кратчайшего пути. 

• Многомерные многогранные сети

  • Сетка из 4-мерных многогранников состоит из многогранных ячеек, соединенных своими гранями и занимающих одно и то же трехмерное пространство. 
  • Сетка тессеракта широко используется в искусстве и литературе. 

• Число комбинаторно различных сеток

  • Число комбинаторно различных сеток из n-мерных гиперкубов можно найти, представив их в виде дерева на 2n узлах. 

• Дополнительные ресурсы

  • В статье упоминаются другие связанные темы, такие как моделирование из картона, УФ-картографирование и бумажные модели многогранников.