Аксиоматическая схема спецификации

• Аксиоматика теории множеств

  • Теория множеств — это раздел математики, изучающий свойства множеств. 
  • Аксиомы теории множеств — это основные утверждения, которые определяют множество как математическую концепцию. 
  • Аксиома бесконечности утверждает, что существует бесконечное множество. 
  • Аксиома выбора утверждает, что для любого множества существует выборка из него. 
  • Аксиома регулярности утверждает, что каждое непустое множество имеет непустое подмножество. 
  • Аксиома пустого множества утверждает, что существует пустое множество. 
  • Аксиома замены утверждает, что для каждого предиката существует множество, удовлетворяющее этому предикату. 

• Парадокс Рассела

  • Парадокс Рассела — это противоречие, возникающее при попытке определить множество всех множеств. 
  • Аксиома понимания приводит к парадоксу, если она применяется к предикату, который включает в себя самого себя. 
  • Аксиома спецификации позволяет избежать парадокса, ограничивая применение аксиомы понимания. 

• Развитие аксиоматики

  • Аксиоматика Цермело-Френкеля была первой аксиоматизацией теории множеств, предложенной в 1908 году. 
  • Аксиома замены была добавлена в 1922 году, чтобы избежать парадокса Рассела. 
  • Аксиома выбора была добавлена в 1930 году для расширения теории множеств. 
  • Некоторые аксиомы, такие как аксиома регулярности, стали необходимыми для компенсации потери, вызванной изменением аксиомы понимания на аксиому спецификации. 

• Ограничения аксиомы спецификации

  • Аксиома спецификации не может быть применена к неограниченным предикатам, таким как (x ∈ x). 
  • В некоторых аксиоматизациях, таких как теория классов NBG, аксиома спецификации может быть ограничена определенными классами. 
  • В новых основах Куайна аксиома понимания принимает ограниченную форму, избегая парадокса Рассела. 

• Рекомендации

  • Для дальнейшего чтения рекомендуется обратиться к работам Пола Халмоса, Томаса Джеха и Кеннета Кунена.