Оглавление
- 1 Система Лоренца
- 1.1 Система Лоренца
- 1.2 Эффект бабочки
- 1.3 История и применение
- 1.4 Анализ системы
- 1.5 Отображение Лоренца
- 1.6 Обобщенная система Лоренца
- 1.7 Моделирование и приложения
- 1.8 Решение 14-й задачи Смейла
- 1.9 Доказательство существования странного аттрактора
- 1.10 Доказательство первого тезиса
- 1.11 Метод рекурсивного отображения
- 1.12 Проблемы и решения
- 1.13 Визуализация аттрактора Лоренца
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Система Лоренца
Система Лоренца
-
Система Лоренца
- Система обыкновенных дифференциальных уравнений, изученная Эдвардом Лоренцем
- Хаотичные решения для определенных значений параметров и начальных условий
- Аттрактор Лоренца — набор хаотических решений
-
Эффект бабочки
- Незначительные изменения в начальных условиях приводят к разным траекториям
- Хаотические системы могут быть полностью детерминированными, но непрактичными для прогнозирования
-
История и применение
- Разработана в 1963 году Лоренцем, Феттер и Гамильтон
- Используется в моделях лазеров, динамо-машин, термосифонов и других систем
- Уравнения Лоренца также используются в оптике и химии
-
Анализ системы
- Параметры σ, ρ и β определяют поведение системы
- При ρ < 1 существует одна точка равновесия, при ρ = 1 — раздвоение вил, при ρ > 1 — две критические точки
- При ρ = 28, σ = 10 и β = 8/3 система имеет хаотические решения
-
Отображение Лоренца
- Лоренц использовал отображение для визуализации поведения системы
- Отображение напоминает карту палатки, где система хаотично переключается между лепестками
-
Обобщенная система Лоренца
- Разработана для многомерных моделей
- Включает пять переменных состояния
-
Моделирование и приложения
- Система Лоренца используется для моделирования атмосферной конвекции
- Хаотические свойства модели могут отражать особенности атмосферы Земли
-
Решение 14-й задачи Смейла
- Уорик Такер доказал, что аттрактор Лоренца является странным аттрактором
- Использовал строгие численные методы и нормальные формы
-
Доказательство существования странного аттрактора
- Существует регион N, инвариантный относительно отображения первого возврата.
- Обратная карта допускает прямое инвариантное конусообразное поле.
- Векторы внутри этого поля равномерно расширяются производной D P о карте возврата.
-
Доказательство первого тезиса
- Поперечное сечение Σ пересекается двумя дугами, образованными P(Σ).
- Такер обозначает расположение дуг маленькими прямоугольниками Ri, объединение которых дает N.
- Цель — доказать, что поток вернет точки в N.
-
Метод рекурсивного отображения
- Разработан план Σ’ ниже Σ на расстоянии h.
- Центр Ri используется для оценки новой точки c’i в Σ’.
- Разложение Тейлора используется для оценки точек в Σ’ и получения нового прямоугольника Ri’.
- Процесс повторяется рекурсивно до возвращения потока к исходному состоянию.
-
Проблемы и решения
- Оценка может стать неточной после нескольких итераций.
- Такер разбивает Ri’ на прямоугольники Ri,j и применяет процесс рекурсивно.
- Поток становится более “горизонтальным”, что увеличивает неточность.
- Алгоритм изменяет ориентацию поперечных сечений, делая их горизонтальными или вертикальными.
-
Визуализация аттрактора Лоренца
- Решение в аттракторе Лоренца построено с высоким разрешением в плоскости xz.
- Решение представлено в виде SVG и металлической проволоки.
- Анимации показывают траектории множества решений и расхождение ближайших решений.
- Визуализация аттрактора вблизи прерывистого цикла.
- Две линии тока в системе Лоренца.
- Анимация системы Лоренца с rho-зависимостью.
- Анимация аттрактора Лоренца в наборе инструментов Brain Dynamics Toolbox.