Случайное блуждание

Случайное блуждание Случайное блуждание Стохастический процесс, описывающий путь в математическом пространстве   Примеры: траектория молекулы, поиск корма животным, цена акций   Применяется […]

Случайное блуждание

  • Случайное блуждание

    • Стохастический процесс, описывающий путь в математическом пространстве  
    • Примеры: траектория молекулы, поиск корма животным, цена акций  
    • Применяется в инженерии, экологии, психологии и других науках  
  • Модели случайного блуждания

    • Случайное блуждание по решетке: переход на соседние участки с вероятностью 50%  
    • Простое симметричное случайное блуждание: вероятности перехода зависят от местоположения  
    • Случайное блуждание по d-мерной целочисленной решетке  
  • Одномерное случайное блуждание

    • Пример: случайное блуждание по линейке целых чисел  
    • Ожидание E(Sn) равно нулю, E(Sn2) равно n  
    • E(|Sn|) стремится к 2π при n → ∞  
  • Феномен перехода уровня

    • Случайное блуждание пересекает каждую точку бесконечное количество раз  
    • Пример: игрок с ограниченной суммой денег проигрывает в честной игре против банка  
  • Вероятности и треугольники

    • Количество различных проходов из n шагов равно 2n  
    • Вероятность Sn = k равна 2−n(n(n+k)/2)  
    • Центральная предельная теорема и закон повторяющегося логарифма описывают поведение случайных блужданий  
  • Обобщения и приложения

    • Случайные блуждания по кристаллическим решеткам  
  • Случайное блуждание как цепь Маркова

    • Одномерное случайное блуждание можно рассматривать как марковскую цепь с целыми состояниями.  
    • Вероятности перехода задаются формулой P(i,i+1) = p = 1 — P(i,i-1).  
  • Гетерогенное случайное блуждание

    • Генерирует случайное число для определения локальных вероятностей скачка и направления скачка.  
    • Вероятность остаться на каждом сайте после t скачков стремится к пределу при t → ∞.  
  • Случайное блуждание в многомерных пространствах

    • В многомерных пространствах траектория случайного блуждания является дискретным фракталом.  
    • В двумерном случае вероятность возвращения к исходной точке высока, но уменьшается с увеличением числа измерений.  
  • Винеровский процесс и случайное блуждание

    • Винеровский процесс является пределом масштабирования случайного блуждания.  
    • Случайное блуждание сходится к винеровскому процессу при малых шагах.  
    • Винеровский процесс обладает многими симметриями, которых нет у случайного блуждания.  
  • Центральная предельная теорема и винеровский процесс

    • Центральная предельная теорема утверждает, что после большого числа шагов случайное блуждание сходится к нормальному распределению.  
    • Дисперсия случайного блуждания связана с размером шага и временем между шагами.  
  • Гауссово случайное блуждание

    • Случайное блуждание с размером шага, изменяющимся по нормальному распределению, используется для моделирования временных рядов данных.  
    • Ожидаемое значение после n шагов равно vs + nμ, где μ — среднее значение нормального распределения.  
  • Доказательство гауссова случайного блуждания

    • Гауссово случайное блуждание можно рассматривать как сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин.  
    • Распределение суммы двух независимых нормально распределенных случайных величин задается формулой N(μX + μY, σX2 + σY2).  
    • Для n шагов распределение равно N(0, nσ2).  
  • Среднеквадратичное расстояние перемещения

    • Среднеквадратичное расстояние перемещения после n шагов равно стандартному отклонению распределения расстояния перемещения.  
    • Вероятность 68,27% для среднеквадратичного расстояния перемещения между ±σ√n.  
    • Вероятность 50% для расстояния перемещения между ±0.6745σ√n.  
  • Количество отдельных сайтов

    • Количество различных сайтов, посещенных одним случайным посетителем, изучено для квадратных и кубических решеток и фракталов.  
    • Величина полезна для анализа проблем захвата и кинетических реакций.  
  • Скорость передачи информации

    • Скорость передачи информации при гауссовом случайном блуждании задается параметрически.  
    • Невозможно закодировать {Zn}n=1N с помощью двоичного кода длиной менее NR(Dθ) бит.  
  • Приложения случайных блужданий

    • Случайные блуждания используются в финансовой экономике, популяционной генетике, физике, производстве полупроводников, математической экологии, физике полимеров, информатике, исследованиях мозга, науке о зрении, психологии, беспроводных сетях, биологии и других областях.  
  • Варианты случайных блужданий

    • Случайные блуждания могут происходить в различных пространствах и совершать шаги в случайные моменты времени.  
    • Конкретные случаи включают модели полета Леви и диффузии.  
  • Случайное блуждание на графиках

    • Случайное блуждание длины k по возможно бесконечному графу G с корнем 0.  
    • Вероятность того, что случайное блуждание длиной k, начинающееся в точке v, закончится в точке w.  
    • Пример: человек почти наверняка доберется до своего дома, если длины всех блоков находятся между a и b.  
  • Теорема о переходных графах

    • Граф является переходным, если сопротивление между точкой и бесконечностью конечно.  
    • В рекуррентной системе сопротивление бесконечно.  
  • Случайное блуждание по графу

    • Случайное блуждание по графу обладает временной симметрией.  
    • Вероятности прохождения пути в разных направлениях равны.  
  • Исследования случайных блужданий

    • С 1980-х годов исследованы связи между свойствами графа и случайными блужданиями.  
    • Результаты включают изопериметрические неравенства и функциональные неравенства.  
  • Модели случайных графов

    • В модели Эрдеша-Реньи получены аналитические результаты по свойствам случайных ходоков.  
    • Время первого и последнего удара ходока определяется по посещенным участкам.  
  • Случайные блуждания в случайной среде

    • Если ядро перехода случайно, блуждание называется «случайным блужданием в случайной среде».  
    • Закон блуждания может быть отожженным или погашенным.  
  • Модели самовзаимодействующих случайных блужданий

    • Примеры включают уход от самого себя, случайное блуждание со стертой петлей и усиленное случайное блуждание.  
    • Эти модели сложнее для аналитического решения, но могут быть смоделированы с помощью компьютеров.  
  • Коррелированные случайные блуждания

    • Случайные блуждания, где направление движения коррелирует с предыдущим.  
    • Используются для моделирования движений животных.  
  • Дополнительные модели и рекомендации

    • Ветвящееся случайное блуждание, броуновское движение, закон повторяющегося логарифма и другие модели.  
    • Библиография включает работы Феллера, Хьюза, Норриса, Поля, Ревеса, Вайса и Весса.  

Полный текст статьи:

Случайное блуждание

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх