Случайное блуждание
-
Случайное блуждание
- Стохастический процесс, описывающий путь в математическом пространстве
- Примеры: траектория молекулы, поиск корма животным, цена акций
- Применяется в инженерии, экологии, психологии и других науках
-
Модели случайного блуждания
- Случайное блуждание по решетке: переход на соседние участки с вероятностью 50%
- Простое симметричное случайное блуждание: вероятности перехода зависят от местоположения
- Случайное блуждание по d-мерной целочисленной решетке
-
Одномерное случайное блуждание
- Пример: случайное блуждание по линейке целых чисел
- Ожидание E(Sn) равно нулю, E(Sn2) равно n
- E(|Sn|) стремится к 2π при n → ∞
-
Феномен перехода уровня
- Случайное блуждание пересекает каждую точку бесконечное количество раз
- Пример: игрок с ограниченной суммой денег проигрывает в честной игре против банка
-
Вероятности и треугольники
- Количество различных проходов из n шагов равно 2n
- Вероятность Sn = k равна 2−n(n(n+k)/2)
- Центральная предельная теорема и закон повторяющегося логарифма описывают поведение случайных блужданий
-
Обобщения и приложения
- Случайные блуждания по кристаллическим решеткам
-
Случайное блуждание как цепь Маркова
- Одномерное случайное блуждание можно рассматривать как марковскую цепь с целыми состояниями.
- Вероятности перехода задаются формулой P(i,i+1) = p = 1 — P(i,i-1).
-
Гетерогенное случайное блуждание
- Генерирует случайное число для определения локальных вероятностей скачка и направления скачка.
- Вероятность остаться на каждом сайте после t скачков стремится к пределу при t → ∞.
-
Случайное блуждание в многомерных пространствах
- В многомерных пространствах траектория случайного блуждания является дискретным фракталом.
- В двумерном случае вероятность возвращения к исходной точке высока, но уменьшается с увеличением числа измерений.
-
Винеровский процесс и случайное блуждание
- Винеровский процесс является пределом масштабирования случайного блуждания.
- Случайное блуждание сходится к винеровскому процессу при малых шагах.
- Винеровский процесс обладает многими симметриями, которых нет у случайного блуждания.
-
Центральная предельная теорема и винеровский процесс
- Центральная предельная теорема утверждает, что после большого числа шагов случайное блуждание сходится к нормальному распределению.
- Дисперсия случайного блуждания связана с размером шага и временем между шагами.
-
Гауссово случайное блуждание
- Случайное блуждание с размером шага, изменяющимся по нормальному распределению, используется для моделирования временных рядов данных.
- Ожидаемое значение после n шагов равно vs + nμ, где μ — среднее значение нормального распределения.
-
Доказательство гауссова случайного блуждания
- Гауссово случайное блуждание можно рассматривать как сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин.
- Распределение суммы двух независимых нормально распределенных случайных величин задается формулой N(μX + μY, σX2 + σY2).
- Для n шагов распределение равно N(0, nσ2).
-
Среднеквадратичное расстояние перемещения
- Среднеквадратичное расстояние перемещения после n шагов равно стандартному отклонению распределения расстояния перемещения.
- Вероятность 68,27% для среднеквадратичного расстояния перемещения между ±σ√n.
- Вероятность 50% для расстояния перемещения между ±0.6745σ√n.
-
Количество отдельных сайтов
- Количество различных сайтов, посещенных одним случайным посетителем, изучено для квадратных и кубических решеток и фракталов.
- Величина полезна для анализа проблем захвата и кинетических реакций.
-
Скорость передачи информации
- Скорость передачи информации при гауссовом случайном блуждании задается параметрически.
- Невозможно закодировать {Zn}n=1N с помощью двоичного кода длиной менее NR(Dθ) бит.
-
Приложения случайных блужданий
- Случайные блуждания используются в финансовой экономике, популяционной генетике, физике, производстве полупроводников, математической экологии, физике полимеров, информатике, исследованиях мозга, науке о зрении, психологии, беспроводных сетях, биологии и других областях.
-
Варианты случайных блужданий
- Случайные блуждания могут происходить в различных пространствах и совершать шаги в случайные моменты времени.
- Конкретные случаи включают модели полета Леви и диффузии.
-
Случайное блуждание на графиках
- Случайное блуждание длины k по возможно бесконечному графу G с корнем 0.
- Вероятность того, что случайное блуждание длиной k, начинающееся в точке v, закончится в точке w.
- Пример: человек почти наверняка доберется до своего дома, если длины всех блоков находятся между a и b.
-
Теорема о переходных графах
- Граф является переходным, если сопротивление между точкой и бесконечностью конечно.
- В рекуррентной системе сопротивление бесконечно.
-
Случайное блуждание по графу
- Случайное блуждание по графу обладает временной симметрией.
- Вероятности прохождения пути в разных направлениях равны.
-
Исследования случайных блужданий
- С 1980-х годов исследованы связи между свойствами графа и случайными блужданиями.
- Результаты включают изопериметрические неравенства и функциональные неравенства.
-
Модели случайных графов
- В модели Эрдеша-Реньи получены аналитические результаты по свойствам случайных ходоков.
- Время первого и последнего удара ходока определяется по посещенным участкам.
-
Случайные блуждания в случайной среде
- Если ядро перехода случайно, блуждание называется «случайным блужданием в случайной среде».
- Закон блуждания может быть отожженным или погашенным.
-
Модели самовзаимодействующих случайных блужданий
- Примеры включают уход от самого себя, случайное блуждание со стертой петлей и усиленное случайное блуждание.
- Эти модели сложнее для аналитического решения, но могут быть смоделированы с помощью компьютеров.
-
Коррелированные случайные блуждания
- Случайные блуждания, где направление движения коррелирует с предыдущим.
- Используются для моделирования движений животных.
-
Дополнительные модели и рекомендации
- Ветвящееся случайное блуждание, броуновское движение, закон повторяющегося логарифма и другие модели.
- Библиография включает работы Феллера, Хьюза, Норриса, Поля, Ревеса, Вайса и Весса.