Оглавление
- 1 Стохастический процесс
- 1.1 Определение и классификация стохастических процессов
- 1.2 История и терминология
- 1.3 Типы стохастических процессов
- 1.4 Примеры и применение
- 1.5 Математические методы и исследования
- 1.6 Определение стохастического процесса
- 1.7 Примеры стохастических процессов
- 1.8 Свойства и применения стохастических процессов
- 1.9 Пространство состояний и выборочная функция
- 1.10 Приращение стохастического процесса
- 1.11 Закон стохастического процесса
- 1.12 Конечномерные распределения вероятностей
- 1.13 Стационарность стохастического процесса
- 1.14 Фильтрация стохастического процесса
- 1.15 Модификация стохастического процесса
- 1.16 Неразличимость стохастических процессов
- 1.17 Разделимость стохастических процессов
- 1.18 Определение разделимости
- 1.19 Независимость и некоррелированность
- 1.20 Ортогональность
- 1.21 Пространство Скорохода
- 1.22 Марковские процессы и цепи
- 1.23 Мартингейлы
- 1.24 Мартингалы и их применение
- 1.25 Процессы Леви
- 1.26 Случайные поля
- 1.27 Точечные процессы
- 1.28 История теории вероятностей
- 1.29 Развитие стохастических процессов после Второй мировой войны
- 1.30 История теории случайных процессов
- 1.31 Ранние работы и открытия
- 1.32 Развитие теории в 1960-х и 1970-х годах
- 1.33 Современные исследования и конференции
- 1.34 Открытие специфических случайных процессов
- 1.35 Пуассоновский процесс
- 1.36 Марковские процессы
- 1.37 История и развитие теории марковских процессов
- 1.38 Процессы Леви
- 1.39 Математическая конструкция стохастических процессов
- 1.40 Проблемы и решения при построении стохастических процессов
- 1.41 Применение стохастических процессов в финансах
- 1.42 Применение в биологии
- 1.43 Приложения в компьютерных науках
- 1.44 Модели массового обслуживания
- 1.45 Гибкость стохастических моделей
- 1.46 Теория массового обслуживания
- 1.47 Список тем, посвященных стохастическим процессам
- 1.48 Записи
- 1.49 Полный текст статьи:
- 2 Случайный процесс – Arc.Ask3.Ru
Стохастический процесс
-
Определение и классификация стохастических процессов
- Стохастический процесс — это семейство случайных величин в вероятностном пространстве.
- Индекс семейства часто интерпретируется как время.
- Стохастические процессы используются в различных дисциплинах, включая биологию, химию, физику и финансы.
-
История и терминология
- Термин “стохастический процесс” впервые появился в 1934 году.
- Термины “случайный процесс” и “stochastic process” часто используются взаимозаменяемо.
- Термин “случайная функция” также используется для обозначения стохастического процесса.
-
Типы стохастических процессов
- Стохастические процессы могут быть классифицированы по пространству состояний, набору индексов и зависимости между случайными величинами.
- Стохастические процессы с дискретным временем легче изучать, чем с непрерывным.
- Стохастические процессы с непрерывным временем требуют более продвинутых математических методов.
-
Примеры и применение
- Примеры стохастических процессов включают процесс Винера и пуассоновский процесс.
- Стохастические процессы используются в биологии, химии, экологии, неврологии, физике, обработке изображений, обработке сигналов, теории управления, теории информации, информатике и телекоммуникациях.
- Стохастические процессы также применяются в финансах для моделирования случайных изменений на финансовых рынках.
-
Математические методы и исследования
- Стохастические процессы изучаются с использованием методов теории вероятностей, математического анализа, линейной алгебры, теории множеств и топологии.
- Теория случайных процессов продолжает оставаться активной темой исследований.
-
Определение стохастического процесса
- Стохастический процесс — это совокупность случайных величин, определенных в вероятностном пространстве.
- Случайные величины индексируются набором T и принимают значения в пространстве S.
- Процесс может быть записан как {X(t, ω): t ∈ T}.
-
Примеры стохастических процессов
- Процесс Бернулли: последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 1 или 0 с вероятностью p.
- Случайное блуждание: стохастический процесс, изменяющийся в дискретном времени, с целыми числами в качестве пространства состояний.
- Процесс Винера: стохастический процесс с независимыми приращениями, распределенными по размеру приращений.
- Пуассоновский процесс: стохастический процесс, представляющий случайное количество точек за определенный период времени.
-
Свойства и применения стохастических процессов
- Винеровский процесс используется в количественных финансах и различных областях естественных наук.
- Пуассоновский процесс важен для теории массового обслуживания и математических моделей.
- Стохастические процессы имеют множество применений в различных дисциплинах.
-
Пространство состояний и выборочная функция
- Пространство состояний определяется элементами, отражающими значения стохастического процесса.
- Выборочная функция отображает набор индексов в пространство состояний.
-
Приращение стохастического процесса
- Приращение — это разница между двумя случайными величинами одного процесса.
- Приращения могут быть вещественными или натуральными числами, евклидовыми пространствами или банаховыми пространствами.
-
Закон стохастического процесса
- Закон определяется как мера продвижения вперед.
- Закон может быть записан как мера на измеримом подмножестве пространства состояний.
-
Конечномерные распределения вероятностей
- Конечномерные распределения определяются как совместные распределения случайного вектора.
- Они удовлетворяют условиям согласованности.
-
Стационарность стохастического процесса
- Стационарный процесс имеет одинаковое распределение для всех значений индекса.
- Стационарность может быть строгой или широкой.
-
Фильтрация стохастического процесса
- Фильтрация — это возрастающая последовательность сигма-алгебр.
- Фильтрация позволяет изучать объем информации о процессе в разные моменты времени.
-
Модификация стохастического процесса
- Модификация — это другой стохастический процесс с тем же набором индексов и вероятностным пространством.
- Модификации подчиняются одному и тому же конечномерному закону.
-
Неразличимость стохастических процессов
- Два процесса считаются неразличимыми, если они имеют одинаковые конечномерные распределения и почти наверняка непрерывны.
-
Разделимость стохастических процессов
- Разделимость основана на индексе, установленном по отношению к вероятностной мере
- Функционалы случайных процессов могут образовывать случайные величины
- Для разделимости индекс должен быть разделяемым пространством
-
Определение разделимости
- Вещественный стохастический процесс X с вероятностным пространством (Ω, F, P) является отделимым, если его индекс T имеет плотное счетное подмножество U и набор Ω0 с нулевой вероятностью
- Для каждого открытого множества G и закрытого набора F события {Xt ∈ F для всех t ∈ G ∩ U} и {Xt ∈ F для всех t ∈ G} отличаются не более чем на подмножестве Ω0
-
Независимость и некоррелированность
- Два случайных процесса X и Y независимы, если для всех n ∈ N и любого выбора эпох t1, …, tn ∈ T случайные векторы (Xt(t1), …, Xt(tn)) и (Yt(t1), …, Yt(tn)) независимы
- Два случайных процесса {Xt} и {Yt} некоррелированы, если их перекрестная ковариация KXY(t1, t2) равна нулю во все времена
-
Ортогональность
- Два случайных процесса {Xt} и {Yt} ортогональны, если их взаимная корреляция RXY(t1, t2) равна нулю во все времена
-
Пространство Скорохода
- Пространство Скорохода (D) — это математическое пространство функций, непрерывных справа и с левыми границами
- Функции càdlàg принадлежат пространству D
- Пространство D часто используется в теории случайных процессов
-
Марковские процессы и цепи
- Марковские процессы обладают свойством Маркова, что следующее значение зависит от текущего, но не от предыдущих
- Примеры марковских процессов: броуновское движение, пуассоновский процесс, случайные блуждания по целым числам
- Цепь Маркова — это марковский процесс с дискретным пространством состояний или дискретным набором индексов
- Марковские процессы используются в стохастическом моделировании и байесовской статистике
-
Мартингейлы
- Мартингейл — это стохастический процесс, в котором условное математическое ожидание каждого будущего значения равно текущему значению
- Примеры мартингалов: симметричное случайное блуждание, винеровский процесс
- Мартингалы могут быть созданы на основе других мартингалов или случайных процессов
-
Мартингалы и их применение
- Мартингалы формализуют идею “честной игры” и используются в бизнесе и статистике.
- Они сходятся при определенных условиях и применяются для получения результатов сходимости.
- Мартингалы нашли применение в теории вероятностей, теории массового обслуживания, экономике и финансах.
-
Процессы Леви
- Процессы Леви — это обобщения случайных блужданий в непрерывном времени.
- Они имеют множество применений в финансах, механике, физике и биологии.
- Основные характеристики процессов Леви — стационарность и независимость.
-
Случайные поля
- Случайное поле — это набор случайных величин, индексированных в многомерном евклидовом пространстве.
- Случайное поле можно рассматривать как обобщение стохастического процесса.
-
Точечные процессы
- Точечный процесс — это совокупность точек, случайным образом расположенных в математическом пространстве.
- Точечный процесс может быть интерпретирован как случайная мера подсчета или случайный набор.
-
История теории вероятностей
- Теория вероятностей берет начало в азартных играх и развивалась с 1654 года.
- В 19 веке ученые разработали статистическую механику, включающую случайность.
- В начале 20 века математики разработали теорию меры и начали изучать интегралы от математических функций.
- В 1933 году Андрей Колмогоров опубликовал книгу, которая считается рождением современной теории вероятностей.
-
Развитие стохастических процессов после Второй мировой войны
- После Второй мировой войны изучение теории вероятностей и случайных процессов привлекло больше внимания.
- Кийоси Ито развивал стохастическое исчисление и стохастические дифференциальные уравнения.
- Были установлены связи между стохастическими процессами и теорией потенциала.
- Гилберт Хант связал марковские процессы и теорию потенциала, что привело к росту интереса к изучению марковских процессов.
-
История теории случайных процессов
- В 1953 году Дуб опубликовал книгу “Стохастические процессы”, подчеркнув важность теории меры.
- Дуб разработал теорию мартингейлов, внесшую вклад в теорию вероятностей.
- Методы теории мартингалов стали популярными для решения вероятностных задач.
-
Ранние работы и открытия
- Сергей Бернштейн, Поль Леви и Жан Вилль внесли вклад в теорию мартингалов.
- Методы теории мартингалов применялись к марковским процессам.
- Теория больших отклонений использовалась для изучения случайных процессов.
-
Развитие теории в 1960-х и 1970-х годах
- Александр Венццел и Д. Монро Донскер внесли фундаментальный вклад в теорию.
- Варадхан получил премию Абеля в 2007 году.
- В 1990-х и 2000-х годах развивались теории эволюции Шрамма-Левнера и грубых траекторий.
-
Современные исследования и конференции
- Теория случайных процессов остается в центре внимания исследователей.
- Ежегодно проводятся международные конференции по стохастическим процессам.
-
Открытие специфических случайных процессов
- Процесс Бернулли был первым стохастическим процессом, изученным Якобом Бернулли.
- Случайные блуждания изучались с древних времен, включая задачу “Разорение игрока”.
- Винеровский процесс берет начало в различных областях, включая статистику и физику.
-
Пуассоновский процесс
- Пуассоновский процесс назван в честь Симеона Пуассона, но не был им изучен.
- В начале 20-го века пуассоновский процесс возникал независимо в различных ситуациях.
-
Марковские процессы
- Марковские процессы названы в честь Андрея Маркова, изучавшего цепи Маркова.
- Марков доказал слабый закон больших чисел и центральную предельную теорему для цепей Маркова.
- Другие ранние работы включают диффузионную модель и процесс ветвления.
-
История и развитие теории марковских процессов
- Андрей Колмогоров развил теорию марковских процессов с непрерывным временем в 1931 году.
- Колмогоров был вдохновлен работами Луи Башелье и Норберта Винера.
- Колмогоров вывел дифференциальные уравнения для диффузионных процессов.
-
Процессы Леви
- Процессы Леви названы в честь Поля Леви и связаны с бесконечно делимыми распределениями.
- Колмогоров вывел характеристическую функцию для процессов Леви в 1932 году.
- Хинчин независимо предложил альтернативную форму характеристической функции в 1937 году.
-
Математическая конструкция стохастических процессов
- Существуют два подхода к построению стохастических процессов: через измеримое пространство функций и через теорему существования Колмогорова.
- Теорема существования Колмогорова утверждает, что если конечномерные распределения удовлетворяют условиям согласованности, то существует стохастический процесс с этими распределениями.
-
Проблемы и решения при построении стохастических процессов
- При построении стохастических процессов с непрерывным временем возникают трудности из-за бесчисленных наборов индексов.
- Джозеф Дуб предложил предположение о разделимости для преодоления этих трудностей.
- Анатолий Скороход и Андрей Колмогоров разработали подход, основанный на функциональном пространстве Скорохода.
-
Применение стохастических процессов в финансах
- Модель Блэка-Шоулза использует геометрическое броуновское движение для определения цены опционов.
- Модели стохастической волатильности учитывают изменяющуюся во времени рыночную волатильность.
-
Применение в биологии
- Стохастические процессы используются для моделирования динамики численности населения.
- Процесс рождения и смерти описывает колебания численности населения из-за случайных рождений и смертей.
- Процесс ветвления моделирует рост популяции, где каждая особь размножается независимо.
-
Приложения в компьютерных науках
- Стохастические процессы применяются в рандомизированных алгоритмах для упрощения решения задач.
- Цепи Маркова используются в вероятностных алгоритмах для оптимизации и выборки.
- Теория массового обслуживания моделирует случайное поступление и обслуживание задач в системе.
-
Модели массового обслуживания
- Прогнозируют задержки
- Управляют распределением ресурсов
- Оптимизируют пропускную способность веб-серверов и сетей связи
-
Гибкость стохастических моделей
- Позволяют моделировать и улучшать производительность в условиях интенсивного движения транспорта
-
Теория массового обслуживания
- Имеет решающее значение для проектирования эффективных центров обработки данных и инфраструктур облачных вычислений
-
Список тем, посвященных стохастическим процессам
- Ковариационная функция
- Детерминированная система
- Динамика марковских частиц
- Коэффициент энтропии (для стохастического процесса)
- Эргодический процесс
- Алгоритм Гиллеспи
- Система взаимодействующих частиц
- Марковская цепь
- Стохастический клеточный автомат
- Случайное поле
- Случайность
- Стационарный процесс
- Статистическая модель
- Стохастическое исчисление
- Стохастическое управление
- Стохастический попугай
- Стохастические процессы и краевые задачи
-
Записи
- Рекомендации
- Дальнейшее чтение
- Статьи
- Книги
- Внешние ссылки
- Средства массовой информации, связанные со стохастическими процессами на Викискладе